Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 2.4 (O biekcih). Esli
f — biekci, to
f
−
1
— bi-
ekci. Esli
f, g — biekcii, to
f
◦
g
— biekci.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Teorema 2.5 (Proobrazy mnoestv pri otobraenih).
Dl lbo$i funkcii
f
:
A →
B
i lbyh
Y, Z iz
P
(B):
1) f
−
1
hY
i
=
{
x
∈ A
: f
(
x
) ∈ Y }
,
2) f
−1
h
Y
∩ Zi
=
f
−
1
hY i ∩
f
−
1
hZi
,
3) f
−
1
h
Y ∪ Z
i = f
−
1
h
Y
i ∪ f
−
1
h
Y i
,
4)
f
−1
hY
\
Z
i =
f
−1
hY i\
f
−1
h
Zi.
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1.
[x
∈f
−
1
h
Y i] ∼[(
x
∈
A)∧
(
∃y
∈Y )((x, y
)
∈f)] ∼
∼
[(x
∈
A
)(∃
y ∈
Y )(
y =
f(x))]
∼
[(
x∈
A
)
∧(
f(
x)
∈Y
)].
2. [x ∈
f
−1
h
Y ∩ Z
i] ∼
[f(x) ∈ (Y
∩ Z
)] ∼ [(
f(x
) ∈
Y )
∧(
f
(
x
) ∈
Z
)] ∼
∼
[(
x∈f
−1
hY i
)
∧(x
∈f
−
1
h
Z
i
)]
∼
[
x∈
(f
−1
h
Y i ∩ f
−
1
hZ
i)]
.
3. Sleduet iz teoremy 2.2.
4. [x ∈ f
−1
hY
\
Zi]
∼ [
f
(x
) ∈
Y \Z
]
∼ [(x ∈ f
−1
hY i
)∧(
x /
∈
f
−1
hZ
i
)]
∼
∼[
x
∈
(f
−
1
hY
i\
f
−1
hZ
i
)].
J
Opredelenie 2.7 (Funkcii vybora).
Pust~ {S
α
}
α
∈
A
— seme$is-
tvo nepustyh mnoestv. Funkcie$i vybora dl {S
α
}
α∈
A
nazyva-
ets funkci
f
: A →
S
α
∈
A
S
α
taka, qto (
∀α
∈
A
)(f
(α)
∈
S
α
).
Suwestvovanie funkci$i vybora dl koneqnyh seme$istv ko-
neqnyh mnoestv oqevidno, poskol~ku mono ukazat~ razliqnye
algoritmy postroeni takih funkci$i. No v sluqae beskoneq-
nyh mnoestv i beskoneqnyh seme$istv mnoestv net sposobov
konstruktivnogo opredeleni funkcii vybora.
Aksioma vybora. Dl vskogo seme$istva mnoestv
{S
α
}
α∈A
su-
westvuet funkci vybora.
Otnoxeni kvivalentnosti
Opredelenie 2.8 (kvivalentnost~, klassy kvivalentnosti,
faktormnoestvo). Otnoxeniem
R
kvivalentnosti v mnoes-
tve
A nazyvaets refleksivnoe, tranzitivnoe, simmetriqnoe
binarnoe otnoxenie v A. Klassom kvivalentnosti lementa a
po otnoxeni R
nazyvaets R
(a)
Rh{a
}i. Mnoestvo raz-
liqnyh klassov kvivalentnosti nazyvaets faktormnoestvom
mnoestva
A
po
R
i oboznaqaets simvolom A/R
.
Otnoxenie ravenstva v lbom mnoestve A vlets ot-
noxeniem kvivalentnosti. Esli sqitat~ prmu parallel~no$i
samo$i sebe, to otnoxenie parallel~nosti vlets kvivalen-
tnost~ prmyh na ploskosti.
Primer 2.1.
Otnoxenie R medu dvum de$istvitel~nymi qis-
lmi
x
i y iz intervala
[0, 1)
, sostowee v tom, qto
(
x −
y)
— racional~noe qislo, vlets otnoxeniem kvivalentnosti.
57

Страницы