Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Primer 2.2. Pust~
f(
x) — nepreryvna de$istvitel~na fun-
kci, opredelenna na
R
n
. Binarnoe otnoxenie
Ker
f
=
{
(
x, y
) ∈
∈
M
2
:
f(x
) =
f(y
)
}, nazyvaemoe drom otobraeni
f , vlets
kvivalentnost~ v M
. Klassami kvivalentnosti iz
M/
Ker f
vlts mnoestva
{
x
∈ R
n
: f(x
) =
λ}
, nazyvaemye giperpo-
verhnostmi urovn
λ
funkcii f
.
Opredelenie 2.9 (Razbieni).
Podmnoestvo A
⊆P(
A
)
nazyva-
ets razbieniem mnoestva
A, esli vypolnts uslovi:
1) esli
B
∈ A, to B
6
= ∅;
2)
esli D
∈
A
, E ∈
A
i
D 6
=
E , to D ∩
E
=
∅;
3)
[
B
∈A
B
=
A.
Teorema 2.6 (Svo$istva faktormnoestva). Faktormnoestvo
A/R
otnoxeni kvivalentnosti R vlets razbieniem A.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz refleksivnosti
R
vytekaet
a
∈
R
(
a
)
i potomu
R(
a) 6= ∅
. Pust~ R(
a) 6= R(b)
, R
(a)
∩ R(
b)
6=
∅ i
c
∈ R
(a)
∩
R(b
). Togda iz
aRc, cRb i iz tranzitivnosti R
po-
luqim aRb, otkuda v silu simmetriqnosti
R sleduet bRa.
to oznaqaet, qto R(a) = R(b
). Poluqennoe protivoreqie doka-
zyvaet ravenstvo
R
(a
)
∩R
(
b) =
∅
. Oqevidno
[
B∈A/R
B
⊆A
. Pust~
[
B∈A/R
B
6
= A
. Togda suwestvuet lement d
∈ A
i sootvetstvu-
wi$i emu klass kvivalentnosti, ne vhodwi$i v
A/R, qto
protivoreqit opredeleni A/R. Znaqit,
[
B∈
A/R
B =
A
.
J
Netrudno dokazat~ sleduwee utverdenie.
Teorema 2.7 (Otnoxeni kvivalentnosti i razbieni). Dl
kadogo razbieni
A
mnoestva
A suwestvuet otnoxenie k-
vivalentnosti
R
A
takoe, qto
A/R
A
=
A
; ono opredelets
tak:
aR
A
b
(
∃
X ∈ A)
(a
∈
X)∧(
b ∈ X
))
.
Iz teorem 2.12, 2.13 sleduet, qto zadanie otnoxeni kvi-
valentnosti na A
ravnosil~no zadani razbieni A.
Opredelenie 2.10 (Mnoestvo predstavitele$i). Mnoestvom
predstavitele$i dl otnoxeni kvivalentnosti
R
v
A na-
zyvaets podmnoestvo mnoestva A
, imewee toqno odin
obwi$i lement s kadym lementom faktormnoestva A/R
.
Suwestvovanie mnoestva predstavitele$i otnoxeni kviva-
lentnosti sleduet iz aksiomy vybora.
58

Страницы