Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
V diskretnom upordoqennom mnoestve vski$i lement v-
lets i maksimal~nym i minimal~nym.
Opredelenie 2.13 (Nini$i i verhni$i konusy, supremum, infi-
mum).
Dl podmnoestva A
qastiqno upordoqennogo mnoes-
tva
P ninim
(verhnim)
konusom
A
nazyvaets mnoestvo
A
O
{x
∈ P
: (∀a ∈ A)(
x6a)}
( A
M
{x ∈
P
: (∀a
∈
A)(a
6x)}
). Nai-
men~xi$i (
naibol~xi$i
)
lement mnoestva A
M
( A
O
) nazyvaet-
s toqno$i verhne$i (nine$i)
gran~ mnoestva A
i oboznaqa-
ets simvolom sup A
( inf
A ).
Opredelenie 2.14 (Intervaly, atomy).
Pust~
P — upo-
rdoqennoe mnoestvo. Mnoestva
[a, b]
{
x ∈ P : a6
x6b},
(a, b
) {x ∈P
:
a< x<b}
,
(
a, b
]
{
x ∈
P :
a< x
6
b}, [
a, b
) {
x
∈P :
a6x< b}
,
(
−∞, a]
{x ∈ P : x6a}
, [
a, ∞)
{x ∈
P : a6x} nazyvats, soot-
vetstvenno, zamknutym, otkrytym, poluotkrytym sleva, polu-
otkrytym sprava, naqal~nym i final~nym intervalami. Esli
a
6
=
b i [
a, b] =
{
a, b}
, to govort, qto lement b
pokryvaet
lement a. lementy, pokryvawie nul~ nazyvats atomami.
Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, vvodwee pontie
fundirovannogo mnoestva.
Teorema 2.11 (Fundirovannye mnoestva).
Sleduwie svo$istva
upordoqennogo mnoestva
P ravnosil~ny
:
1)
vskoe nepustoe podmnoestvo mnoestva P
vlets
upordoqennym mnoestvom, soderawim minimal~ny$i lement
(uslovie minimal~nosti);
2)
dl vsko$i posledovatel~nosti
a
1
>
a
2
> . . .
>a
k
> . . . lemen-
tov iz
P
na$idets tako$i nomer n
, qto a
n
=
a
n+1
= a
n
+2
= . . .
(
uslovie obryva ubyvawih cepe$i
);
3) (∀
x
∈P )(∀
y ∈P
)((
y < x)
→A
(
y)) →
A(
x))→(∀x
∈P )A(
x), gde
A(x)
— sootnoxenie, soderawee x svobodno i ne soderawee
y
(
uslovie induktivnosti
).
Upordoqennye mnoestva, obladawie timi svo$istvami
nazyvats fundirovannymi. Fundirovannye cepi nazyvats
vpolne upordoqennymi mnoestvami.
Klassiqeskim primerom vpolne upordoqennogo mnoestva
vlets mnoestvo
N. Sleduwee utverdenie, ravnosil~noe
aksiome vybora, privodits bez dokazatel~stva.
Teorema 2.12 (Teorema Cermelo).
Na vskom nepustom mnoes-
tve mono zadat~ pordok, prevrawawi$i ego vo vpolne upor-
doqennoe mnoestvo.
60

Страницы