Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Opredelenie 2.15 (Rexetki). Upordoqennoe mnoestvo
P na-
zyvaets rexetko$i, esli dl vseh
a, b ∈
P suwestvut sup{a, b}
i
inf{
a, b
}
. Esli P
vlets rexetko$i, to ispol~zuts oboz-
naqeni
a
∧b
inf
{a, b} i a
∨
b
sup
{a, b}
.
Teorema 2.13 (Aksiomy rexetki-algebry).
V kado$i rexetke
vypolnts osnovnye sootnoxeni 1 — 4, 7, 8, 13, 14, koto-
rye budut nazyvat~s aksiomami rexetki-algebry.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Sootnoxeni 1, 2, 7, 8 oqevidny. Prava
i leva qasti ravenstva 3 ravny
sup
{a, b, c}, prava i leva
qasti ravenstva 4 ravny inf
{a, b, c
}. Oqevidno, qto
`(c
6
d
) ∼
(c∨
d
=
d)
,
(1)
Iz (1) i neravenstva
a∧
b
6a
sleduet sootnoxenie 13. Perehod
v (1) k dvo$istvennomu pordku
> i uqityva, qto pri tom
pordke c∨
d perehodit v c∧d
, po teoreme 2.9 poluqim
`
(
c>
d) ∼ (
c∧d
= d
).
(2)
Iz (2) i neravenstva a>
a∧b
sleduet sootnoxenie 14.
J
Primer 2.3.
Buleva algebra s otnoxeniem a6b
(a
∧
b =
a)
vlets rexetko$i. to sleduet iz teoremy I.1.8 i ravenstv
sup
{
a, b
} =
a ∨ b, inf
{
a, b
}
= a∧b
.
Primer 2.4. V mnoestve
R
X
vseh de$istvitel~nyh funkci$i,
otobraawih mnoestve X
v R
, opredelim pordok
6
tak:
f
6
g
(∀x ∈ X)(
f
(x
)
6
g
(
x))
. Mnoestvo
R
X
vlets rexetko$i,
v kotoro$i
h = f ∨ g oznaqaet
h
(x
) = max
{
f
(
x
)
, g(
x)
}
, a
h = f∧
g
oznaqaet
h(x) = min{
f
(
x
)
, g(x
)}
.
Nam popotrebuets utoqnit~ oboznaqeni. Mnoestvo
L
s
otnoxeniem pordka
6 oboznaqim simvolom (L;
6
)
. Mnoestvo
L s operacimi ∧
, ∨ oboznaqim simvolom
(L
; ∧
, ∨
)
i nazovem
rexetko$i-algebro$i, esli vypolnts osnovnye sootnoxeni 1
— 4, 7, 8, 13, 14.
Teorema 2.14 (Dva ”kvivalentnyh” predstavleni rexetok).
1) Pust~
L
= (
L, 6
)
— rexetka, a∧b
inf
{a, b}
, a
∨
b
sup
{a, b}.
Togda
L
a
= (L, ∧
,
∨
) — rexetka-algebra.
2)
Pust~ L
= (
L, ∧
, ∨
) — rexetka-algebra, a
6
b (a∧
b
=
a
)
. Togda
L
p
= (
L, 6)
— rexetka.
3) Esli L = (L,
6
) — rexetka, to
(
L
a
)
p
=
L
.
4)
Esli
L = (
L,
∧,
∨
) — rexetka-algebra, to
(
L
p
)
a
=
L .
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Teorema 2.13. 2. Teorema
I
.1.8. Dokaza-
tel~stva pp. 3, 4 rekomenduets qitatel kak upranenie. J
61

Страницы