Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

gde a
ik
— k - destiqna cifra qisla α
i
. Postroim drob~
β
= 0, b
1
b
2
. . .
b
n
. . ., vybrav pri vseh natural~nyh n proiz-
vol~nu iz cifr 1
,
2, 3,
4
, 5,
6
, 7,
8, 9, ne ravnu
a
nn
. Pos-
kol~ku β ∈
[0
, 1]
, no ne sovpadaet ni s odno$i drob~ iz A
, to
znaqit
A 6= [0
,
1], otkuda sleduet, qto mnoestvo
[0
,
1]
nesqetno.
Teorema 3.1 (Otnoxenie ravnomownosti).
Otnoxenie ' v za-
dannom mnoestve refleksivno, tranzitivno i simmetriqno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Refleksivnost~ '
sleduet iz togo, qto
ravenstvo est~ biekci mnoestva na seb, a tranzitivnost~ i
simmetriqnost~ ' sledut iz teoremy 2.2.
J
Nel~z rassmatrivat~ otnoxenie ' kak kvivalentnost~ v
”mnoestve vseh mnoestv” poskol~ku takoe mnoestvo ne su-
westvuet (primer 1.3). Po to$i priqine otnoxenie
'
ne ob-
ladaet grafikom.
Opredelenie 3.2 (Kardinal~nye qisla).
Mnoestvo
τ
Z
(
X
'
Z)
nazyvaets kardinal~nym qislom mnoestva X (mownost~
mnoestva
X
)
i oboznaqaets Card (X)
.
Sleduwie utverdeni privodts bez dokazatel~stv.
Teorema 3.2 (O sravnenii mnoestv). Dl lbyh mnoestv
A, B
suwestvuet odna i tol~ko odna iz vozmonoste$i
:
1) Card (
A
) = Card (
B
) —
A ravnomowno B;
2) Card (A
) < Card (B
) —
A
ravnomowno podmnoestvu
D⊆
B ,
no
B
ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu C
⊆A;
3) Card (
A)
> Card (
B
)
— B
ravnomowno podmnoestvu C⊆
A
,
no A
ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu
D
⊆
B .
Primery.
1.
Card (∅)
0,
2. Card ({∅}
) 1 — kardinal~noe qislo odnolementnyh mno-
estv,
3. Card (
{
∅
, {
∅
}})
2 — kardinal~noe qislo dvuhlementnyh
mnoestv,
. . .
.
4.
Card ( N)
ℵ
0
— kardinal~noe qislo sqetnyh mnoestv.
5.
Card (
P(
N)) ℵ
1
— mownost~ kontinuuma.
Teorema 3.3 (Sravnenie mnoestv
A
i
P
(
A)).
Dl lbogo mno-
estva
A
spravedlivo neravenstvo
Card (A)
<
Card ( P(
A)).
Kontinuum-gipoteza. Mownost~
ℵ
1
est~ perva mownost~, pre-
voshodwa mownost~ ℵ
0
.
ta gipoteza formal~no nerazrexima v tom smysle, qto
nevozmono formal~no dokazat~ ni ee, ni ee otricanie.
63

Страницы