Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 64 стр.

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СПб ГУАП | Санкт-Петербург

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Рубрика: 

4. Posledovatel~nosti mnoestv i ih predely
Opredelenie 4.1 (Sqetnye obedineni i pereseqeni). Dl
vsko$i posledovatel~nosti {
A
n
}
∞
n
=1
podmnoestv prostranstva Ω
∞
[
n=1
A
n
{x
∈
Ω : (
∃n
)(
x ∈ A
n
)
}
,
∞
\
n=1
A
n
{x ∈
Ω : (∀n
)(x ∈ A
n
)
}.
Teorema 4.1 (Svo$istva sqetnyh obedineni$i i pereseqeni$i).
1)
∞
[
n
=1
(
A
n
∪
B
n
) =
∞
[
n=1
A
n
∪
∞
[
n
=1
B
n
, 2)
∞
\
n=1
(
A
n
∩ B
n
) =
∞
\
n=1
A
n
∩
∞
\
n
=1
B
n
,
3)
∞
[
n
=1
(A
n
∩
B
n
)⊆
∞
[
n=1
A
n
∩
∞
\
n=1
B
n
,
4)
∞
\
n=1
(
A
n
∪ B
n
)
⊇
∞
\
n=1
A
n
∪
∞
\
n
=1
B
n
,
5)
∞
[
n=1
(A
∪
B
n
) = A ∪
∞
[
n
=1
B
n
,
6)
∞
\
n
=1
(
A
∩
B
n
) = A
∩
∞
\
n
=1
B
n
,
7)
∞
[
n=1
(
A
∩
B
n
) =
A
∩
∞
[
n
=1
B
n
,
8)
∞
\
n
=1
(
A
∪ B
n
) =
A
∪
∞
\
n=1
B
n
,
9)
∞
[
n
=1
A
n
=
∞
\
n
=1
A
n
,
10)
∞
\
n
=1
A
n
=
∞
[
n
=1
A
n
,
11)
f
∞
[
n
=1
A
n
!
=
∞
[
n
=1
f(
A
n
) ,
12)
f
∞
\
n
=1
A
n
!
⊆
∞
\
n=1
f(
A
n
) ,
13)
f
−1
∞
[
n=1
B
n
!
=
∞
[
n
=1
f
−
1
(B
n
)
, 14) f
−1
∞
\
n
=1
B
n
!
=
∞
\
n=1
f
−
1
(
B
n
)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o .
8
. [
x ∈
∞
\
n
=1
(A∪
B
n
)] = [(∀n)((
x
∈ A)
∨
(x ∈
B
n
))] =
= [(
x
∈
A)
∨
(∀n)(
x
∈
B
n
)] = [(x
∈ A)
∨
(x ∈
∞
\
n=1
B
n
)] = [
x
∈ A
∪
∞
\
n=1
B
n
].
9. [x ∈
∞
[
n
=1
A
n
] = [
(∃n)(
x ∈ A
n
)] = [(∀n)
x ∈ A
n
] = [
x ∈
∞
\
n
=1
A
n
]
.
14. x ∈
f
−
1
∞
\
n=1
B
n
!
=f(x)
∈
∞
\
n=1
B
n
=(∀
n)(x
∈
f
−1
(
B
n
))=x
∈
∞
\
n
=1
f
−1
(
B
n
).
Opredelenie 4.2 (Predely posledovatel~noste$i mnoestv).
Verhnim
(
ninim
)
predelom posledovatel~nosti mnoestv
{A
n
}
∞
n=1
nazyvaets mnoestvo lim sup
n
→∞
A
n
T
∞
n=1
S
∞
k=
n
A
k
,
( lim inf
n
→∞
A
n
S
∞
n
=1
T
∞
k
=
n
A
k
)
. Esli lim sup
n
→∞
A
n
= lim inf
n→∞
A
n
,
to suwestvuet predel
lim
n→∞
A
n
lim sup
n
→∞
A
n
=lim inf
n
→∞
A
n
.
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