Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5. Izmerimye prostranstva i funkcii. Mery
Opredelenie 5.1 (
σ
-algebra mnoestv).
Buleva algebra podmno-
estv, zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh obedine-
ni$i, nazyvaets σ
-algebro$i mnoestv.
Teorema 5.1 (Svo$istva
σ -algebr).
Lba σ -algebra mnoestv
zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$i i pre-
delov posledovatel~noste$i mnoestv.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
A
—
σ -algebra. Zamknutost~
A
otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$i mnoestv sledu-
et iz ravenstva
T
∞
n
=1
A
n
=
S
∞
n
=1
A
n
, a zamknutost~ otnositel~no
obrazovani verhnih i ninih predelov sleduet iz zamknutosti
A otnositel~no sqetnyh obedineni$i i pereseqeni$i. J
Oqevidno, pereseqenie nepustogo mnoestva
σ
-algebr vl-
ets
σ -algebro$i.
Opredelenie 5.2 (Porodenna σ -algebra). Dl lbogo mno-
estva B
podmnoestv prostranstva Ω pereseqenie vseh
σ
-
algebr, soderawih
B, nazyvaets
σ
-algebro$i, porodenno$i B.
ta
σ -algebra vlets naimen~xe$i iz σ -algebr, soderawih B.
Opredelenie 5.3 (Izmerimye prostranstva). Izmerimym pros-
transtvom nazyvaets para
(Ω
, A
)
, gde
Ω
— mnoestvo,
A —
σ -algebra podmnoestv mnoestva Ω
, nazyvaemyh izmerimymi.
Opredelenie 5.4 (Izmerimye otobraeni, borelevskie fun-
kcii). Izmerimym otobraeniem
(X
1
, A
1
) v (
X
2
, A
2
) na-
zyvaets funkci f
:
X
1
→
X
2
, udovletvorwa uslovi
(
∀
B ∈
A
2
)(
f
−1
h
Bi ∈ A
1
)
. Borelevsko$i funkcie$i nazyvaets izme-
rimoe otobraenie (R
m
, B
m
)
v (
R
n
, B
n
)
, gde
R
= [
−∞, ∞] —
rasxirenna de$istvitel~na prma.
Sleduwie utverdeni vlts oqevidnymi sledstvimi
svo$istv proobrazov mnoestv pri otobraenih.
Teorema 5.2 (Svo$istva izmerimyh otobraeni$i).
1
. Kompozici izmerimyh otobraeni$i vlets izmerimym
otobraeniem.
2.
Esli f — izmerimoe otobraenie
(
X
1
, A
1
) v X
2
, A
2
) i
f
−
1
hA
2
i
{f
−1
h
A
i
: A
∈ A
2
} — mnoestvo proobrazov mnoestv
iz A
2
pri
f
, to f
−1
hA
2
i
vlets
σ -podalgebro$i σ
-algebry A
1
.
Opredelenie 5.5 (Potoqeqny$i predel).
Potoqeqnym predelom
posledovatel~nosti funkci$i
{
f
k
}
∞
k
=1
, gde f
k
:
R
m
→ R
n
, nazyva-
ets funkci f
(x
)
taka, qto
(
∀
x
∈
R
m
)(
f
(x) = lim
k
→∞
f
k
(
x
) ).
66

Страницы