Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sleduwee utverdenie privodits bez dokazatel~stva.
Teorema 5.3 (Opisatel~noe opredelenie borelevskih funkci$i).
Mnoestvo borelevskih funkci$i sovpadaet s naimen~xim mno-
estvom funkci$i, zamknutym otnositel~no potoqeqnogo pre-
del~nogo perehoda i soderawim vse nepreryvnye funkcii.
Dl togo, qtoby poluqit~ konstruktivnoe opredelenie iz-
merimyh funkci$i nam sleduet neskol~ko izmenit~ vzgld na
predikat prinadlenosti
x
∈
A, predstaviv ego kak de$istvi-
tel~nu funkci peremennyh
x, A.
Opredelenie 5.6 (Indikatory mnoestv).
Indikatorom podmno-
estva
A
prostranstva
Ω nazyvaets funkci I
A
: Ω→
R, opre-
delema formulo$i
I
A
(
x)
(
x∈A), gde ”lo~”, ”istina” v pravo$i
qasti zaments, sootvetstvenno, na qisla 0,
1 v levo$i, t. e.
I
A
(x) =
1 pri x ∈ A
0 pri
x /∈
A
.
Mnoestvo indikatorov
{I
A
:
A∈
P(Ω)}
oboznaqim simvolom I
Ω
.
Oqevidnym sledstviem vvedeni vmesto predikatov x ∈
A
indikatorov I
A
(
x)
vlets dobavlenie instrumentov dokaza-
tel~stv: vmeste s metodami matematiqesko$i logiki mono is-
pol~zovat~ svo$istva operaci$i nad de$istvitel~nymi funkcimi.
Teorema 5.4 (Buleva algebra indikatorov).
Mnoestvo indika-
torov
I
Ω
s obyqnym otnoxeniem pordka dl de$istvitel~nyh
funkci$i I
A
6I
B
(∀x
∈
Ω)(
I
A
(x)
6I
B
(
x) vlets rexetko$i, v koto-
ro$i inf
{
I
A
, I
B
}
I
A
∧I
B
=
I
A
I
B
, sup{I
A
, I
B
}
I
A
∨
I
B
=I
A
+
I
B
−I
A
I
B
.
Esli vvesti operaci dopolneni
I
A
1
−
I
A
, to mnoes-
tvo I
Ω
s operacimi
∧,
∨, vlets bulevo$i algebro$i
s nulem
I
∅
= 0 i edinice$i I
Ω
= 1
. Funkci
f
:
P(A
) → I
Ω
,
opredelenna formulo$i
f(A
) =
I
A
vlets izomofizmom bu-
levyh algebr P
(A
)
i I
Ω
, s pomow~ kotorogo mono doka-
zat~ utverdeni: 1) `(
A
⊆B)
∼ (I
A
6
I
B
)
, 2) `
I
A
\B
= I
A
− I
A
I
B
,
3)
`
I
AMB
=(I
A
+ I
B
)mod 2,
3)
`
I
lim
A
n
=lim
I
A
n
.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Sledstvie. Tablica znaqeni$i indikatorov mnoestv.
A B A ∪ B A ∩ B A\B A AMB
I
A
I
B
I
A∪
B
I
A∩
B
I
A\
B
I
A
I
AM
B
0 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0
67

Страницы