Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

vsko$i posledovatel~nosti {
A
n
}
∞
n=1
neperesekawihs mnoestv
µ
(
S
∞
n=1
A
n
) =
P
∞
n=1
µ
(
A
n
). Esli
µ
(Ω) < ∞, to µ
nazyvaets ko-
neqno$i mero$i, a pri
µ(Ω) = 1
— verotnostno$i mero$i. Esli
µ(Ω)=
∞
, no suwestvuet posledovatel~nost~ mnoestv {B
n
}
∞
n=1
taka, qto
µ(
B
n
)
6=∞ i
Ω =
S
∞
n=1
B
n
, to
µ
nazyvaets
σ -koneq-
no$i mero$i. Tro$ika (Ω
,
A
, µ
)
nazyvaets prostranstvom s mero$i,
a pri
µ(Ω)=1 — verotnostnym prostranstvom.
Pri koneqno$i mere uslovi v opredelenii mery ravno-
sil~ny uslovim:
µ(∅) = 0
; esli A
∩
B
= ∅
, to µ(
A
∪
B) =
=
µ(A
) +
µ(
B)
;
µ( lim
n
→∞
A
n
) = lim
n→∞
µ
(
A
n
) dl vsko$i monotonno$i pos-
ledovatel~nosti
{A
n
}
∞
n
=1
mnoestv.
Primer 5.1.
Pust~
Ω — sqetnoe mnoestvo,
A
=
P
(Ω), µ(A)
— qislo toqek v A
, esli A
koneqno, i
µ
(
A) =
∞
v protiv-
nom sluqae. Opredelenna na
A
funkci mnoestv µ vlets
σ -koneqno$i mero$i, nazyvaemo$i
sqitawe$i mero$i.
Primer 5.2. Pust~ Ω = R
n
,
A
= B
n
— σ -algebra
borelevskih
podmnoestv prostranstva
R
n
(t. e. σ -algebra porodenna n-
mernymi intervalami
(
−
a
1
, b
1
)
×···×(
−a
n
, b
n
)
,
−∞ < a
i
< b
i
<
∞).
Suwestvuet i edinstvenna σ
-koneqna mera µ
taka, qto
µ
(−a
1
; b
1
)×···×
(−a
n
;
b
n
)
= (
b
1
− a
1
)
···
(b
n
−
a
n
).
ta mera nazyvaets mero$i Lebega. Suwestvut podmnoestva
prostranstv
R
n
, sopostavlenie kotorym opredelenno$i mery Le-
bega privodit k protivoreqi. ti podmnoestva nazyvat-
s
neizmerimymi. Naprimer, neizmerimymi vlts mnoestva
predstavitele$i klassov kvivalentnosti iz primera 2.1.
69

Страницы