Электричество и магнетизм. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Рубрика: 

34
Введем обозначение
∑
≠
=
ij
iji
ϕ
ϕ
− потенциал, создаваемый
всеми зарядами, кроме
q
i
в точке, где расположен заряд q
i
, тогда
∑
=
=
n
1i
ii
q
2
1
W
ϕ
. (3.3)
При непрерывном распределении зарядов предположим, в
элементе объема
dV заряженного тела находится заряд dq=
ρ
dV, а
на его поверхности заряд
dq=
σ
dS. Для определения энергии
взаимодействия элементарных зарядов
dq между собой (энергии
заряженного тела) можно воспользоваться формулой (3.3), пе-
рейдя в ней от суммы к интегралу, т.е.
∫∫
+=
VS
dS
2
1
dV
2
1
W
ϕσϕρ
(3.4)
Пусть есть заряженный уединенный проводник с зарядом
q.
В проводнике весь заряд расположен на поверхности, т.е.
ρ
=0, а
ϕ
=const, тогда из (3.4) и (3.1) получаем
∫∫
=====
SS
22
2
С
С2
q
q
2
1
dS
2
1
dS
2
1
W
ϕ
ϕσϕϕσ
. (3.5)
В случае системы заряженных проводников
∑
∫
∑
∫
∑
==
===
n
1i
S
n
1i
S
n
1i
iiiiii
ii
q
2
1
dS
2
1
dS
2
1
W
ϕσϕϕσ
=
, (3.6)
где
q
i
− заряд, а
ϕ
i
− потенциал i−го проводника.
3.4. Энергия конденсатора. Объемная плотность энергии
3.4.1. Энергия конденсатора
Пусть в конденсаторе потенциал обкладки с зарядом
+q ра-
вен
ϕ
1
, а потенциал обкладки с зарядом −q равен
ϕ
2
. Тогда, со-
гласно (3.6) энергия конденсатора будет равна
()
С2
q
2
CU
2
qU
qq
2
1
W
22
21
===−=
ϕϕ
. (3.7)
3.4.2. Объемная плотность энергии
Выразим энергию заряженного конденсатора через величи-
ну напряженности электрического поля. 
                                 34

        Введем обозначение ϕ i = ∑ ϕ ij − потенциал, создаваемый
                                  j ≠i

всеми зарядами, кроме qi в точке, где расположен заряд qi, тогда
                                        1 n
                                  W = ∑ qiϕ i .                 (3.3)
                                        2 i =1
      При непрерывном распределении зарядов предположим, в
элементе объема dV заряженного тела находится заряд dq=ρdV, а
на его поверхности заряд dq=σdS. Для определения энергии
взаимодействия элементарных зарядов dq между собой (энергии
заряженного тела) можно воспользоваться формулой (3.3), пе-
рейдя в ней от суммы к интегралу, т.е.
                                  1            1
                               W = ∫ ϕρdV + ∫ ϕσdS              (3.4)
                                  2V           2S
      Пусть есть заряженный уединенный проводник с зарядом q.
В проводнике весь заряд расположен на поверхности, т.е. ρ=0, а
ϕ=const, тогда из (3.4) и (3.1) получаем
                      1           1            1   q 2 Сϕ 2
                W = ∫ ϕσdS = ϕ ∫ σdS = ϕq =               =   . (3.5)
                      2S          2 S          2   2С       2
      В случае системы заряженных проводников
                     1 n             1 n           1 n
               W = ∑ ∫ σ iϕ i dS = ∑ ϕ i ∫ σ i dS = ∑ qiϕ i ,   (3.6)
                     2 i =1 Si       2 i =1 Si     2 i =1
где qi − заряд, а ϕi − потенциал i−го проводника.
 3.4.     Энергия конденсатора. Объемная плотность энергии
3.4.1.       Энергия конденсатора
      Пусть в конденсаторе потенциал обкладки с зарядом +q ра-
вен ϕ1, а потенциал обкладки с зарядом −q равен ϕ2 . Тогда, со-
гласно (3.6) энергия конденсатора будет равна
                       1               qU CU 2 q 2
                  W = (qϕ 1 − qϕ 2 ) =    =   =    .      (3.7)
                       2                2   2   2С
3.4.2.     Объемная плотность энергии
     Выразим энергию заряженного конденсатора через величи-
ну напряженности электрического поля.

Страницы