ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-63-
Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частота проявления ошибок
(интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания
i
t
между моментами
обнаружения последовательных i - й и (i - 1) - й ошибок.
(
)
(
)
[
]
λ
ii
t
K
N
i
t
=−−
0
1 , (3.21)
где
0
N
- начальное количество ошибок; K - коэффициент пропорциональности,
обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.
Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению
Релея:
()
()
[]
P
t
K
N
i
t
i
i
=− −−
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
exp
0
2
1
2
(3.22)
где
(
)
(
)
P
t
PT
t
ii
=≥.
Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ
() ()
()
[]
()
[]
f
tPt
K
N
i
t
K
N
i
t
ii i
i
=− = − − − − −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
exp
00
2
11
2
. (3.23)
Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего
количества ошибок
0
N
и коэффициента K.
()
0
1
2
2
1
2
1
1
N
n
K
i
t
t
i
n
i
i
i
n
=+−
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∑
=
=
(3.24)
()
K
N
i
t
i
n
i
i
n
=
−−
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∑
=
=
2
1
1
0
1
2
1
(3.25)
Особенностью третьей модели
является учёт ступенчатого характера изменения
надёжности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции
рассматривается распределение времени наработки на отказ P(t). Если ошибки не
устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к
экспоненциальной модели для распределения:
(
)
(
)
Pt t
=
−
exp
λ
Отсюда плотность распределения наработки на отказ T определяется выражением:
(
)
ft
e
t
=
−
λ
λ
где t > 0, λ > 0 и 1/λ - среднее время наработки на отказ, т.е. Т
ср=1/λ. Здесь Тср - среднее
время наработки на отказ.
Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении
ошибок используется функция следующего вида:
(
)
λλβ
β
t
t
=
−1
;
Если 0 < β < 1, то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе
эксплуатации. При таком виде функции λ(t) плотность функции распределения наработки на
отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла:
(
)
(
)
ft
tt
=−
−
λβ λ
ββ1
exp .
Распределение Вейбулла достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчёте
функции наработки на отказ.
3.7 Проверка математических моделей
.
Обоснование приведённых математических моделей приведено в ряде работ, в которых
наибольшее внимание уделялось проверке первой и второй моделей. Контролировались и
-63-
Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частота проявления ошибок
(интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания t i между моментами
обнаружения последовательных i - й и (i - 1) - й ошибок.
λ( t i ) = K[ N 0 − ( i − 1) ] t i , (3.21)
где N 0 - начальное количество ошибок; K - коэффициент пропорциональности,
обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.
Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению
Релея:
⎧ t 2i ⎫
P( t i ) = exp ⎨− K[ N 0 − ( i − 1) ] ⎬ (3.22)
⎩ 2⎭
где P( t i ) = P( T ≥ t i ) .
Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ
⎧ t i2 ⎫
f ( t i ) = − P ( t i ) = K[ N 0 − ( i − 1) ] t i exp ⎨− K[ N 0 − ( i − 1) ] ⎬ .
|
(3.23)
⎩ 2⎭
Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего
количества ошибок N 0 и коэффициента K.
⎡ 2n n ⎤ 1
N0 = ⎢ + ∑ ( i − 1) t 2i ⎥ n (3.24)
⎣ K i=1 ⎦ ∑ t2
i
i =1
⎡n 2 ⎤ 1
K = ⎢∑ ⎥ n (3.25)
⎣i=1 N0 − ( i − 1) ⎦ ∑ t 2i
i =1
Особенностью третьей модели является учёт ступенчатого характера изменения
надёжности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции
рассматривается распределение времени наработки на отказ P(t). Если ошибки не
устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к
экспоненциальной модели для распределения:
P( t ) = exp( − λt )
Отсюда плотность распределения наработки на отказ T определяется выражением:
f ( t ) = λ e − λt
где t > 0, λ > 0 и 1/λ - среднее время наработки на отказ, т.е. Тср=1/λ. Здесь Тср - среднее
время наработки на отказ.
Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении
ошибок используется функция следующего вида:
λ( t ) = λβ t β −1 ;
Если 0 < β < 1, то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе
эксплуатации. При таком виде функции λ(t) плотность функции распределения наработки на
отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла:
f ( t) = λβ t β −1 exp(− λ t β) .
Распределение Вейбулла достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчёте
функции наработки на отказ.
3.7 Проверка математических моделей.
Обоснование приведённых математических моделей приведено в ряде работ, в которых
наибольшее внимание уделялось проверке первой и второй моделей. Контролировались и
