Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

Pt
0
•
=()
−
2
λ
P
0
(t) +
μ
P
1
(t) ;
P t
1
•
=()
−
(
μ
+ 2
λ
)P
1
(t) + 2
λ
P
0
(t) +
μ
P
2
(t) ;
P t
2
•
=() 2
λ
P
1
(t)
−
μ
P
2
(t) .
Для определения установившегося значения P
2
положим все производные равными
нулю. Учитывая, что
P
0
(t) + P
1
(t) + P
2
(t) =1 ,
получаем
−
2
λ
P
0
+
μ
P
1
= 0 ;
2
λ
P
0
−
(
μ
+ 2
λ
)P
1
+
μ
P
2
= 0 ;
P
0
+ P
1
+ P
2
= 1 .
Для получения величины
P
2
используем правило Крамера:
P
2
2
=
Δ
Δ
,
где
Δ=
−
−+ = + +
20
22
111
24
22
λμ
λμλμμμλλ
() ;
Δ
2
2
20
220
111
4=
−
−+ =
λμ
λμλ λ
() .
Следовательно
KP
Π
Δ
Δ
== =
++
2
2
2
22
4
24
λ
μμλλ
.
при
μ
>>
λ
K
Π
≈
4
2
2
λ
μ
.
Так как при показательном распределении времени безотказной работы и времени
восстановления
λ
==⋅
−
1
510
3
m
t
1/час ;
μ
τ
==
1
05
m
,
1/час ,
то
K
Π
≈
⋅
⋅=⋅
−−
405
05
10 4 10
2
2
44
,
,
.
Задачи для самостоятельного решения 
           •
          P0 (t ) = −2λP0(t) + μP1(t) ;
          •
          P1 (t ) = −(μ + 2λ)P1(t) + 2λP0(t) + μP2(t) ;
           •
         P2 (t ) = 2λP1(t) − μP2(t) .
     Для определения установившегося значения P2 положим все производные равными
нулю. Учитывая, что P0(t) + P1(t) + P2(t) =1 ,
получаем

        −2λP0 + μP1 = 0 ;

        2λP0 − (μ + 2λ)P1 + μP2 = 0 ;

        P0 + P1 + P2 = 1 .

      Для получения величины P2 используем правило Крамера:
                                                               Δ 2
                                                   P2 =            ,
                                                                Δ
где
                   −2λ                         μ               0
               Δ = 2λ                  −(μ + 2λ )              μ = μ         2
                                                                                 + 2μλ + 4λ2;
                          1                    1               1
                          −2λ                      μ                0
                Δ   2   = 2λ                −(μ + 2λ )              0 = 4λ2.
                                  1                1                1
Следовательно
                                                   Δ2                      4λ2
                         K    Π       = P2 =          =                             .
                                                   Δ    μ       2
                                                                        + 2μλ + 4λ2

при μ >> λ
                                                               4λ2
                                                   K   Π   ≈             .
                                                               μ    2


     Так как при показательном распределении времени безотказной работы и времени
восстановления
                              1                            1
                        λ =      = 5 ⋅ 1 0 − 3 1/час ; μ =    = 0 ,5 1/час ,
                              mt                           mτ
то
                                              4 ⋅ 0 ,5 2
                                       KΠ   ≈        2
                                                         ⋅ 10 − 4 = 4 ⋅ 10 − 4 .
                                               0 ,5


                         Задачи для самостоятельного решения

Страницы