Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 51 стр.

     При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений
относительно изображений при P0(0) = 1 ; P1(0) = P2(0) = 0 :
     (s + 2λ)P0(s) − μP1(s) = 1 ;
     −2λP0(s) + (s + λ + μ)P1(s) = 0 ;
     −λP1(s) + sP2(s) = 0 .
     Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера, получим:
                                                  2λ2
                               P2 ( s ) =                         .
                                          s ( s − s1 )( s − s 2 )

      Раскладывая P2(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лап-
ласа, определяем вероятность попадания в состояние 2 за время (0 , tc ):
                                            s1 e x p [ s 2 t c ] − s 2 e x p [ s1 t c ]
                     P2 ( t c ) = 1 −                                                     ,
                                                                 s1 − s 2
где обозначено

                                [
                    s 1 , 2 = 0 ,5 − 3 λ − μ ±               ( μ + 3λ ) 2 − 8λ 2 .    ]
     Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы радиолокационной
станции за время (0 , tc) равна:
                        ~         s1 e x p [s 2 t c ] − s 2 e x p [s1 t c ]
                        P (tc ) =                                           .
                                                 s1 − s 2
     Для определения среднего времени безотказной работы станции mt запишем преобра-
зование Лапласа для вероятности безотказной работы P(s) и подставим в него s = 0 :
                                                                     s + 3λ + μ
                 P ( s ) = P 0 ( s ) + P1 ( s ) =                                       ;
                                                         s   2
                                                                  + (3λ + μ ) s + 2 λ 2
                                              3λ + μ
                 m t = P ( s)           =            .
                                 s= 0
                                               2λ2

       Задача 9.8. Станция радиорелейной связи включает два работающих приемопередаю-
щих блока и один блок в ненагруженном резерве. Наработка на отказ каждого работающего
блока mt=200 час ; среднее время восстановления одного блока mτ=2 час . Станцию обслу-
живает одна ремонтная бригада. При неработоспособности двух блоков станции третий
блок выключается и в нем не могут происходить отказы. Требуется определить коэффици-
ент простоя станции.
       Решение. Возможны следующие состояния радиорелейной связи:
       0 - все блоки работоспособны;
       1 - неработоспособен один блок;
       2 - неработоспособны два блока.
       При неработоспособности одного блока блок из ненагруженного резерва переводится
в рабочее состояние. Работоспособными являются состояния 0 и 1, неработоспособным -
состояние 2.
       Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P0(t) , P1(t) ,
P2(t) . Эти вероятности при t → ∞ имеют пределы P0 , P1 , P2 . В рассматриваемом случае
KΠ = P2 , т.к. состояние 2 является неработоспособным.
       Составим схему состояний (рис.9.13.) и соответствующую этой схеме систему урав-
нений