Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

CssPs
s
ss s s
ss
=− =
−
−
→
lim ( ) ( )
()
.
2
22
2
1
12 1 2
2
λ
Производя обратное преобразование Лапласа
P
2
(t) = L
−1
{P
2
(s)} ,
получим
P
2
(t) = A
⋅
1(t) +
Be Ce
st s t
12
+
=
=+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
1
2
12
21
12
12
λ
ss
se se
ss
st s t
.
Так как
2
2
12
2
2
λλ
μλ
ss
=
+()
;
s
1
− s
2
= -(μ + λ) ,
то
[]
Kt Pt e e
tt
Π
() ()
()
.
() ()
==
+
+−
−+ −+
2
2
2
2
12
λ
μλ
μλ μλ
Используя это выражение, определяем коэффициент простоя при
t
→
∞
K
Π
=
+
λ
μλ
2
2
()
.
Подставляя числовые значения, получаем
K
Π
(3)= 2
⋅
10
−
4
; K
Π
= 1,5
⋅
10
−
3
.
Задача 9.6.
Вычислительное устройство состоит из рабочего блока и блока в ненагру-
женном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны
λ
= 2
⋅
10
−
2
1/час ;
μ
= 2 1/час .
При одновременной неисправности обоих блоков устройство неработоспособно. Опреде-
лить среднее время безотказной работы устройства
m
t
.
Решение.
Вычислительное устройство в любой момент времени может находиться в
одном из следующих состояний:
0 - оба блока работоспособны;
1 - один блок неработоспособен;
2 - оба блока неработоспособны.
Схема состояний устройства представлена на рис.9.11. Для определения m
t
сначала
необходимо определить вероятность непрерывной безотказной работы в течении времени t .
Система дифференциальных уравнений, полученная по схеме состояний, имеет следующий
вид:
P t
0
•
=()
−λ
P
0
(t) +
μ
P
1
(t) ;
P t
1
•
=()
λ
P
0
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
1
(t) ;
P t
2
•
=()
λ
P
1
(t) .
Начальные условия:
P
0
(0) = 1 ; P
1
(0) = P
2
(0) = 0 .
При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений
относительно изображений:
(s+
λ
)P
0
(s)
−
μ
P
1
(s) = 1 ;
−λ
P
0
(s) + (s +
λ
+
μ
)P
1
(s) = 0 ; 
                                                              − 2 λ 2 s1
                  C = lim ( s − s2 ) P2 ( s) =                               .
                         s→ s2                            s1s 2 ( s1 − s 2 )
      Производя обратное преобразование Лапласа P2(t) = L−1{P2(s)} ,
получим
      P2(t) = A⋅1(t) + Be s1t + Ce s2 t =
          2 λ 2 ⎛          s 2 e s1 t − s 1 e s 2 t ⎞
      =           ⎜1 +                              ⎟ .
          s1 s2 ⎝                s1 − s2            ⎠
Так как
     2 λ2       λ2
           =           ; s1 − s2 = -(μ + λ) ,
     s1s 2   (μ + λ )2
то
                                                 λ2
              K   Π   ( t ) = P2 ( t ) =
                                           (μ + λ )      2   [1 + e   −2 ( μ + λ ) t
                                                                                                     ]
                                                                                       − 2e −(μ +λ )t .

       Используя это выражение, определяем коэффициент простоя при t→ ∞
                                                              λ2
                                             K   Π   =                   .
                                                         (μ + λ )2
      Подставляя числовые значения, получаем
                               KΠ (3)= 2⋅10−4 ; KΠ = 1,5⋅10−3 .
      Задача 9.6. Вычислительное устройство состоит из рабочего блока и блока в ненагру-
женном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны λ = 2⋅10−2
1/час ; μ = 2 1/час .
При одновременной неисправности обоих блоков устройство неработоспособно. Опреде-
лить среднее время безотказной работы устройства mt .
      Решение. Вычислительное устройство в любой момент времени может находиться в
одном из следующих состояний:
      0 - оба блока работоспособны;
      1 - один блок неработоспособен;
      2 - оба блока неработоспособны.
      Схема состояний устройства представлена на рис.9.11. Для определения mt сначала
необходимо определить вероятность непрерывной безотказной работы в течении времени t .
Система дифференциальных уравнений, полученная по схеме состояний, имеет следующий
вид:
         •
         P0 (t ) = −λP0(t) + μP1(t) ;
         •
         P1 (t ) = λP0(t) − (λ + μ)P1(t) ;
          •
      P2 (t ) = λP1(t) .
Начальные условия:
                                        P0(0) = 1 ; P1(0) = P2(0) = 0 .

     При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений
относительно изображений:
      (s+λ)P0(s) − μP1(s) = 1 ;

        −λP0(s) + (s + λ + μ)P1(s) = 0 ;

Страницы