Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

стями переходов представлена на рис.9.10. Система дифференциальных уравнений, состав-
ленная по этой схеме, имеет вид
P t
0
•
=()
−
2
λ
P
0
(t) +
μ
P
1
(t) ;
P t
1
•
=() 2
λ
P
0
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
1
(t) + 2
μ
P
2
(t) ;
P t
2
•
=()
λ
P
1
(t)
−
2
μ
P
2
(t) .
Для определения функции простоя решим эту систему при начальных условиях P
0
(0)
= 1
; P
1
(0) = P
2
(0) = 0 . Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических урав-
нений:
(s + 2
λ
)P
0
(s)
−
μ
P
1
(s) = 1 ;
−
2
λ
P
0
(s) + (s +
λ
+
μ
)P
1
(s)
−
2
μ
P
2
(s) = 0 ;
−λ
P
1
(s) + (s + 2
μ
)P
2
(s) = 0 .
Для получения величин
P
i
(s) используем правило Крамера
Ps
i
i
() ,=
Δ
Δ
где Δ − определитель, элементами которого являются коэффициенты при
P
0
(s) , P
1
(s) , P
2
(s) ;
Δ
i
− определитель, который образуется из Δ путем замены i−го столбца коэффициентами
правой части системы.
В рассматриваемом случае требуется определить функцию простоя, равную P
2
(t) . Для
этого запишем определители Δ и Δ
2
:
ΔΔ=
+−
−++−
−+
=
+−
−++
−
()
()
()
;
()
().
s
s
s
s
s
20
22
02
21
20
00
2
λμ
λλμμ
λμ
λμ
λλμ
λ
Следовательно
[]
Ps
ss s
2
2
222
2
3422
()
()
.=
⋅+ + + + +
λ
λμ λμ μ λ
Найдем корни уравнения
s
2
+ 3(
λ
+
μ
)s + 2(
μ
+
λ
)
2
= 0 .
Имеем
[]
s
12
22
05 3 9 8
,
,( ) ( ) ( )=−+± + − + =
μλ μλ μλ
=
0,5
[−
3(
μ
+
λ
) ± (
μ
+
λ
)
]
.
Следовательно,
s
1
=
−
2(
μ
+
λ
) ; s
2
=
−
(
μ
+
λ
) .
Запишем
P
2
(s) в виде
Ps
ss s s s
A
s
B
ss
C
ss
2
2
12 1 2
2
()
()()
.=
−−
=+
−
+
−
λ
Определим
A , B , C . Имеем
AsPs
ss
s
==
→
lim ( ) ;
0
2
2
12
2
λ
BssPs
s
ss s s
ss
=− =
−
→
lim ( ) ( )
()
;
1
12
2
2
12 1 2
2
λ
стями переходов представлена на рис.9.10. Система дифференциальных уравнений, состав-
ленная по этой схеме, имеет вид
                    •
                   P0 (t ) = −2λP0(t) + μP1(t) ;
                    •
                   P1 (t ) = 2λP0(t) − (λ +μ)P1(t) + 2μP2(t) ;
                    •
                  P2 (t ) = λP1(t) − 2μP2(t) .
      Для определения функции простоя решим эту систему при начальных условиях P0(0)
= 1 ; P1(0) = P2(0) = 0 . Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических урав-
нений:
             (s + 2λ)P0(s) − μP1(s) = 1 ;
             −2λP0(s) + (s + λ + μ)P1(s) −2μP2(s) = 0 ;
             −λP1(s) + (s + 2μ)P2(s) = 0 .

      Для получения величин Pi(s) используем правило Крамера
                                                              Δi
                                                 Pi ( s ) =      ,
                                                              Δ
где Δ − определитель, элементами которого являются коэффициенты при P0(s) , P1(s) , P2(s) ;
Δi − определитель, который образуется из Δ путем замены i−го столбца коэффициентами
правой части системы.
      В рассматриваемом случае требуется определить функцию простоя, равную P2(t) . Для
этого запишем определители Δ и Δ2 :
    (s + 2λ )                  −μ                      0                   (s + 2λ )               −μ        1
Δ =   −2λ                 (s + λ + μ )                −2μ       ;Δ   2   =   −2λ              (s + λ + μ )   0.
            0                     −λ               (s + 2μ )                      0                   −λ     0

Следовательно
                                                              2λ2
                P2 ( s ) =                                                                        .
                                   [
                                 s ⋅ s 2 + 3( λ + μ ) s + 4 λ μ + 2 μ             2
                                                                                      + 2λ2   ]
    Найдем корни уравнения
           s2 + 3(λ + μ)s + 2(μ + λ)2 = 0 .
Имеем
                             [
                s 1 , 2 = 0 ,5 − 3 ( μ + λ ) ±                                ]
                                                   9 ( μ + λ ) 2 − 8( μ + λ ) 2 =
             =0,5[−3(μ + λ) ± (μ + λ)] .
Следовательно, s1 = −2(μ + λ) ; s2 = −(μ + λ) .
Запишем P2(s) в виде
                                         2λ2                A     B        C
                P2 ( s ) =                                =   +        +        .
                                 s ( s − s1 ) ( s − s 2 )   s   s − s1   s − s2
Определим A , B , C . Имеем
                                                 2λ2
                A = l i m s P2 ( s ) =                  ;
                        s→ 0                     s1 s 2
                                                       2 λ 2 s2
                B = l i m ( s − s 1 ) P2 ( s ) =                     ;
                    s → s1                       s1 s 2 ( s1 − s 2 )

Страницы