Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 46 стр.

                                                             μ2
                             K   Γ   = P0 =                           .
                                                  μ   2
                                                          + 2μλ + 2λ2
     Коэффициент простоя
                                                             2μλ + 2λ2
                         K   Π   = P1 + P 2 =                             .
                                                          μ 2 + 2μλ + 2λ2
Подставляя числовые значения, получаем:
                           KΠ ≈ 10−2 ; KΓ = 1 − KΠ ≈ 0,99 .

      Задача 9.3. Специализированная бортовая ЭВА состоит из трех блоков (1,2 и3), два из
которых (1 и 2) включены последовательно в основную цепь, а блок 3 находится в состоя-
нии ненагруженного резерва (рис.9.8.). Известно также, что интенсивность отказов λ2 блока
2 пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями отказов λ1 и λ3         блоков 1 и 3 (т.е.
λ1 = λ3 >> λ2) и устройство эксплуатируется в условиях ограниченного восстановления.
Требуется определить коэффициенты готовности KΓ и простоя KΠ . Интенсивность отказов и
восстановлений устройства равны соответственно λ и μ , причем λ=μ .
      Решение. Если предположить, что наличие в системе блока 2 не ухудшает ее надеж-
ность, то можно выделить следующие три состояния, в которых может пребывать устройст-
во:
      0 - блоки 1 и 3 исправны и ЭВА работоспособна;
      1 - один из блоков (1 или 3) поврежден и ремонтируется, а система по-прежнему со-
храняет работоспособность;
      2 - оба блока (1 и 3), а следовательно, и система в целом неработоспособна.
Схема перечисленных состояний приведена на рис.9.9.
      Обозначим вероятности указанных состояний в некоторый момент времени t соответ-
ственно P0(t) , P1(t) , P2(t) .
 Очевидно, что lim P0 (t ) = P0 ,lim P1 ( t ) = P1 ,lim P2 (t ) = P2 . .
                t →∞             t →∞             t →∞

Ясно, что KΓ = P0 + P1 , поскольку переход системы из состояния 0 в состояние 1 (0 → 1 ) не
отражается на ее работоспособности, а KΠ = P2 или KΠ = 1 − KΓ , так как P0 + P1 + P2 = 1 .
       Запишем уравнения, соответствующие схеме состояний устройства. В соответствии с
(9.5) и рис.9.9. получим
        •
       P 0 ( t ) = − λ P 0 ( t ) + μ P1 ( t ) ,
        •
       P 1 ( t ) = λ P 0 ( t ) − ( λ + μ ) P1 ( t ) + μ P 2 ( t ) ,
        •
       P 2 ( t ) = λ P1 ( t ) − μ P 2 ( t ) .
     Дополнив систему уравнений нормировочным условием (9.7), при t → ∞ имеем
      −λP0 + μP1 = 0 ,
      λP0 −(λ + μ)P1 + μP2 = 0 ,
      λP1 − μP2 = 0 ,
      P0 + P1 + P2 = 1 .

Совместное решение 1-го, 2−го и 4-го уравнений системы дает следующий результат
                                        ρ   2
                                                                     ρ
                       P0 =                           ; P1 =                  ;
                                 ρ (1 + ρ ) + 1                ρ (1 + ρ ) + 1