Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

PP
0
2
1
2
2
11
2
11
=
++
=
++()
;
()
.
ρ
ρ
ρ
Соответственно
KPP
Γ
=+=
+
++
01
2
21
11
()
()
.
ρ
ρ
При
ρ
=0,2 получим K
Γ
=0,98 .
Задача 9.2.
Связная радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки,
интенсивности отказов которых одинаковы и равны
λ
=10
−
2
1/час . Интенсивность восста-
новления
μ
=2 1/час . Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособ-
ности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок
не выключается и в нем могут происходить отказы.
Требуется определить значения коэффициентов готовности и простоя радиостанции.
Решение.
Связная радиостанция в любой момент времени может находиться в одной
из трех состояний:
0 - оба блока работоспособны;
1 - один блок работоспособен;
2 - оба блока неработоспособны.
Радиостанция работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях
1 и 2. Схема состояний с соответствующими интенсивностями переходов представлена на
рис.9.7. Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:
Pt
0
•
=()
−
2
λ
P
0
(t) +
μ
P
1
(t) ;
P t
1
•
=() 2
λ
P
0
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
1
(t) +
μ
P
2
(t) ;
Pt
2
•
=()
λ
P
1
(t)
−
μ
P
2
(t) .
При
t
→
∞
Pt
i
•
=() 0 и переходим к системе алгебраических уравнений
−
2
λ
P
0
+
μ
P
1
=0 ;
2
λ
P
0
−
(
λ
+
μ
)P
1
+
μ
P
2
= 0 ;
λ
P
1
−
μ
P
2
= 0 .
При решении этой системы используем нормировочное условие
P
0
+ P
1
+ P
2
= 1 ,
которое может заменить любое из уравнений системы. В результате решения системы урав-
нений либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим
PP
0
2
22
1
22
22
2
22
=
++
=
++
μ
μμλλ
μλ
μμλλ
;;
P
2
2
22
2
22
=
++
λ
μμλλ
.
Коэффициент готовности радиостанции равен 
                                          2                    2ρ
                        P0 =                       ; P1 =                .
                                    1 + (1 + ρ ) 2
                                                          1 + (1 + ρ ) 2
Соответственно
                                                         2 (1 + ρ )
                                K   Γ   = P 0 + P1 =                  .
                                                       1 + (1 + ρ ) 2

При ρ=0,2 получим KΓ=0,98 .
      Задача 9.2. Связная радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки,
интенсивности отказов которых одинаковы и равны λ=10−2 1/час . Интенсивность восста-
новления μ=2 1/час . Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособ-
ности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок
не выключается и в нем могут происходить отказы.
      Требуется определить значения коэффициентов готовности и простоя радиостанции.
      Решение. Связная радиостанция в любой момент времени может находиться в одной
из трех состояний:
      0 - оба блока работоспособны;
      1 - один блок работоспособен;
      2 - оба блока неработоспособны.
      Радиостанция работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях
1 и 2. Схема состояний с соответствующими интенсивностями переходов представлена на
рис.9.7. Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:
        •
        P0 (t ) = −2λP0(t) + μP1(t) ;
        •
        P1 (t ) = 2λP0(t) − (λ + μ)P1(t) + μP2(t) ;
        •
        P2 (t ) = λP1(t) − μP2(t) .
            •
При t→ ∞ Pi (t ) = 0 и переходим к системе алгебраических уравнений

       −2λP0 + μP1=0 ;

       2λP0 − (λ+μ)P1 + μP2 = 0 ;

       λP1 − μP2 = 0 .

     При решении этой системы используем нормировочное условие

                                            P0 + P1 + P2 = 1 ,

которое может заменить любое из уравнений системы. В результате решения системы урав-
нений либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим
                                   μ2                      2μλ
                P0 =                          ; P1 =               ;
                        μ   2
                                + 2μλ + 2λ  2
                                                     μ + 2μλ + 2λ2
                                                      2


                                                2λ2
                                   P2 =                  .
                                        μ 2 + 2μλ + 2λ2
Коэффициент готовности радиостанции равен

Страницы