Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P
0
(t), P
1
(t),
P
2
(t). Эти вероятности при t
→
∞
имеют пределы P
0
, P
1
, P
2
.
Поскольку для рассматриваемого электроагрегата переход из состояния 0 в состояние
1 не нарушает его работоспособности, то
K
Γ
=P
0
+P
1
.
Составим схему состояний (рис.9.6.) и соответствующую этой схеме систему уравне-
ний
P t
•
=
0
()
−λ
P
0
(t)+
μ
P
1
(t) ;
P t
•
=
1
()
λ
P
0
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
1
(t)+2
μ
P
2
(t) ;
P t
•
=
2
()
λ
P
1
(t)
−
2
μ
P
2
(t) .
Для определения установившихся значений
P
0
и P
1
положим все производные равны-
ми нулю. Учитывая,
что P
0
(t)+P
1
(t)+P
2
(t)=1, получаем:
−λ
P
0
+
μ
P
1
=0 ;
λ
P
0
−
(
λ
+
μ
)P
1
+2
μ
P
2
=0 ;
P
0
+P
1
+P
2
=1 .
Для получения величин P
0
, P
1
, P
2
используем правило Крамера:
P
i
i
=
Δ
Δ
,
где Δ − определитель, элементами которого являются коэффициенты при
P
0
, P
1
, P
2
; Δ
i
−
определитель, который образуется из Δ путем замены i−го столбца коэффициентами правой
части системы уравнений. Определим Δ, Δ
0
, Δ
1
. Имеем
Δ=
−
−+ =
λμ
λλμμ
0
2
111
()
λ
(
λ
+
μ
) + 2
μ
2
+ 2
μλ
−
μλ
=
λ
2
+ 2
μ
(
μ
+
λ
) .
Δ
0
2
00
02
11 1
2=−+ =
μ
λμ μ μ
() ;
Δ
1
00
02
111
2=
−
=
λ
λμλμ
.
Определим
P
0
, P
1
. Получим
P
0
0
2
2
2
2
==
++
Δ
Δ
μ
λμμλ
()
;
P
1
1
2
2
2
==
++
Δ
Δ
λμ
λμμλ
()
.
Обозначив
ρ
λ
μ
= ,
получим в результате 
       Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P0(t), P1(t),
P2(t). Эти вероятности при t→ ∞ имеют пределы P0 , P1 , P2 .
       Поскольку для рассматриваемого электроагрегата переход из состояния 0 в состояние
1 не нарушает его работоспособности, то
                                        KΓ=P0+P1 .
       Составим схему состояний (рис.9.6.) и соответствующую этой схеме систему уравне-
ний
             •
             P 0 (t ) = −λP0(t)+μP1(t) ;
             •
             P1 (t ) = λP0(t)−(λ+μ)P1(t)+2μP2(t) ;
             •
        P 2 (t ) = λP1(t)−2μP2(t) .
     Для определения установившихся значений P0 и P1 положим все производные равны-
ми нулю. Учитывая, что P0(t)+P1(t)+P2(t)=1, получаем:

                 −λP0+μP1=0 ;

                 λP0−(λ+μ)P1+2μP2=0 ;

                 P0+P1+P2=1 .

     Для получения величин P0 , P1 , P2 используем правило Крамера:
                                                           Δi
                                                    Pi =      ,
                                                           Δ
где Δ − определитель, элементами которого являются коэффициенты при P0 , P1 , P2 ; Δi −
определитель, который образуется из Δ путем замены i−го столбца коэффициентами правой
части системы уравнений. Определим Δ, Δ0 , Δ1 . Имеем
                   −λ              μ            0
         Δ =        λ        − (λ + μ )        2 μ = λ(λ + μ) + 2μ2 + 2μλ − μλ=λ2 + 2μ(μ + λ) .
                       1           1            1
                   0           μ               0                     −λ    0    0
     Δ   0       = 0       − (λ + μ )         2μ = 2μ 2;         Δ1 = λ    0   2 μ = 2λμ .
                   1           1               1                      1    1    1

Определим P0 , P1 . Получим
                                            Δ 0         2μ 2
                                       P0 =     =                  ;
                                             Δ    λ2 + 2μ (μ + λ )
                                            Δ1         2λμ
                                       P1 =     =                  .
                                             Δ    λ2 + 2μ (μ + λ )

Обозначив
                                                           λ
                                                    ρ =      ,
                                                           μ
получим в результате

Страницы