Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

:
:
Pt
j
•
=()
λ
P
j
−
1
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
j
(t)+
μ
P
j+1
(t) ; jk= 1, ; ; (9.5)
:
:
Pt
k
•
+
=
1
()
λ
P
k
(t)
−μ
P
k+1
(t).
При t→ ∞ система (9.5) переходит в систему алгебраических уравнений:
−λ
P
0
+
μ
P
1
=0 ;
:
:
λ
P
j
−
1
−
(
λ
+
μ
)P
j
+
μ
P
j+1
=0 ; jk= 1, ; ; (9.6)
:
:
λ
P
k
−μ
P
k+1
=0.
Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение
P
j
j
k
=
=
+
∑
1
0
1
. (9.7)
В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим устано-
вившиеся значения коэффициентов простоя и готовности
KP
k
j
j
k
Π
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
=
+
∑
1
0
1
1
μ
λ
; (9.8)
KP
k
j
j
k
Γ
=− =−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
=
+
∑
11
1
1
0
1
μ
λ
.
Если та же система, состоящая из
k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными
бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема со-
стояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на
рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при
P
j
(t)=0 получим:
KP
k
j
k
kj
j
k
Π
==
+
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+−
=
+
∑
1
1
0
1
1
1()!
!
;
μ
λ
(9.9)
K
г
=1
−
P
k+1 .
Схемы состояний для системы, состоящей из одного основного и
k элементов в на-
груженном резерве представлены на рис.9.3. для ограниченного восстановления и на
рис.9.4. - для неограниченного.
Рассуждая аналогично, получим:
для ограниченного восстановления
K
j
j
j
k
Π
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+
∑
1
1
0
1
!
;
μ
λ
K
г
=1
−
K
п
; (9.10) 
                             :
                             :
                         •
                        Pj (t ) = λPj−1(t)−(λ+μ)Pj(t)+μPj+1(t) ;                         j = 1, k; ;           (9.5)
                             :
                             :
                         •
                        P k +1 (t ) = λPk(t)−μPk+1(t).

При t→ ∞ система (9.5) переходит в систему алгебраических уравнений:
                  −λP0+μP1=0 ;
                     :
                     :
                   λPj−1 −(λ+μ)Pj + μPj+1=0 ; j = 1, k; ;                                                        (9.6)
                     :
                     :
                   λPk −μPk+1=0.
     Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение
                                 k +1

                             ∑   j=0
                                        Pj = 1.                                                                  (9.7)

    В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим устано-
вившиеся значения коэффициентов простоя и готовности
                                                           1
               K   Π   = Pk + 1 =                                 j   ;                                           (9.8)
                                                   k +1
                                                          ⎛ μ ⎞
                                                   ∑
                                                   j=0
                                                          ⎜ ⎟
                                                          ⎝ λ ⎠
                                                                      1
               K   Γ   = 1 − Pk + 1 = 1 −                                     j   .
                                                               k +1
                                                                      ⎛ μ ⎞
                                                               ∑
                                                               j=0
                                                                      ⎜ ⎟
                                                                      ⎝ λ ⎠
      Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными
бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема со-
стояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на
рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при Pj(t)=0 получим:
                                                                  1
       K   Π   = Pk + 1 =                                                     k + 1− j
                                                                                         ;             (9.9)
                                            k +1
                                                   ( k + 1) ! ⎛ μ ⎞
                                            ∑
                                            j=0        j!
                                                             ⋅⎜ ⎟
                                                              ⎝ λ ⎠
         Kг=1−Pk+1 .
      Схемы состояний для системы, состоящей из одного основного и k элементов в на-
груженном резерве представлены на рис.9.3. для ограниченного восстановления и на
рис.9.4. - для неограниченного.
      Рассуждая аналогично, получим:
для ограниченного восстановления
                                        1
       K   Π       =                                j
                                                          ; Kг=1−Kп ;                         (9.10)
                       k +1
                                  1 ⎛ μ ⎞
                       ∑
                       j=0
                                     ⎜ ⎟
                                  j! ⎝ λ ⎠

Страницы