Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 43 стр.

для неограниченного восстановления
                                k +1
                  ⎛   λ ⎞
        K   Π   = ⎜       ⎟              ;                                        (9.10a)
                  ⎝ μ + λ ⎠
                                             k +1                                           k +1− j                 j
                     ⎛   λ ⎞                             k
                                                                              ⎛   μ ⎞                   ⎛   λ ⎞
        K   Γ   = 1− ⎜       ⎟
                     ⎝ μ + λ ⎠
                                                    =   ∑
                                                        j=0
                                                              C    k +1− j
                                                                  k +1       ⋅⎜       ⎟
                                                                              ⎝ μ + λ ⎠
                                                                                                       ⋅⎜       ⎟
                                                                                                        ⎝ μ + λ ⎠
                                                                                                                        .

      Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы, но ремонт
отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Если система состоит из
основного элемента и k элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного
восстановления схема состояний представлена на рис.9.5. При попадании системы в состоя-
ние (k+1) происходит отказ системы, который недопустим и приводит к невыполнению по-
ставленной задачи.
      Вероятность безотказной системы работы
                                     k
                    ~
                    P (ti ) =    ∑j=0
                                              Pj (ti )                                                (9.11)

найдена в предположении, что при t=0 в системе нет неиспользованных элементов, т.е.
                                 P0(0)=1; P1(0)= ... =Pk+1(0)=0.
     Вероятность отказа системы в течении времени выполнения задачи также является
условной вероятностью и равна
                   q~ ( t i ) = P k + 1 ( t i ) .                   (9.12)
     Важным показателем является среднее время безотказной работы
                                 ∞                            ∞    k
                                         ~
                      mt =       ∫
                                 0
                                         P (t )dt =           ∫∑
                                                              0   j=0
                                                                        Pj (t )dt.              (9.13)

     При решении системы уравнений, составленных по схеме состояний рис.9.5. с помо-
щью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило, облегчающее расчет.
     Для определения среднего времени безотказной работы достаточно найти преобразо-
вание Лапласа вероятности безотказной работы P(s) и подставить в него s=0. .

                                 Решение типовых задач

      Задача 9.1. Для питания радиостанции используется электроагрегат с двумя генерато-
рами, каждый из которых обладает производительностью, достаточной для нормальной ра-
боты: эти генераторы работают поочередно. При отказе работающего генератора в работу
включается резервный генератор, а отказавший отключается и ремонтируется. Отказ элек-
троагреграта состоит в прекращении питаниия радиостанции.
      Конструкция электроагрегата допускает одновременный ремонт обоих генераторов,
имеется нужное число ремонтников. Интенсивность отказов одного генератора равна λ, а
интенсивность восстановления одного генератора равна μ.
      Вычислить коэффициент готовности электроагрегата, если μ=5λ. Предполагается по-
казательное распределение времени безотказной работы и времени восстановления.
      Решение. Электроагрегат может находится в одном из трех состояний, которые обо-
значены цифрами:
      0 - электроагрегат работоспособен, оба генератора работоспособны.
      1 - электроагрегат работоспособен, но один из генераторов отказал и находится в ре-
монте.
      2 - электроагрегат неработоспособен, оба генератора ремонтируются.