Решение задач по курсу "Прикладная теория надежности". Липатов И.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

−λ
P
1
(s) + sP
2
(s) = 0 .
Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим
Ps
ss s s s
2
2
12
()
()( )
.=
−−
λ
Раскладывая
P
2
(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лап-
ласа, определяем вероятность
P
2
(t) попадания за время (0 , t) в состояние 2
[
][]
Pt
ssts st
ss
2
1221
12
1()
exp exp
,=−
⋅−⋅
−
где обозначено
[]
s
12
22
05 2 2 4
,
,( ) ( ) .=−+± + −
λμ λμ λ
Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы вычислительного уст-
ройства за время (
0 , t) равна
[
][]
~
() ()
exp exp
.Pt P t
ssts st
ss
=− =
−
−
1
2
1221
12
Среднее время безотказной работы
m
t
равно
mPtdt
ss
ss
t
==−
+
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∞
∫
~
() .
12
12
0
1
2
λ
μ
λ
Задача 9.7.
Радиолокационная станция сопровождения содержит рабочий блок и блок
в нагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны со-
ответственно
λ
и
μ
. Время сопровождения в среднем составляет величину t
c
. При одновре-
менной неработоспособности обоих блоков сопровождаемая цель теряется и происходит
отказ станции. При переходе на резервный блок потери цели не происходит.
Требуется определить вероятность непрерывной безотказной работы в течение време-
ни (
0 , t
c
), или, иначе, вероятность непопадания в состоянии 2 на этом интервале и среднее
время безотказной работы станции
m
t
.
Решение.
Радиолокационная станция сопровождения в любой момент времени может
находиться в одном из следующих состояний:
0 - оба блока работоспособны;
1 - один блок неработоспособен;
2 - оба блока неработоспособны.
Схема состояний представлена на рис.9.12. Работоспособными являются состояния 0
и 1, неработоспособным - 2. Следовательно, вероятность непопадания в состояние 2 за вре-
мя
t
c
определяется как
~
P
(t
c
) = P
0
(t
c
) + P
1
(t
c
) = 1
−
P
2
(t
c
) .
Для определения вероятности
~
()
Pt
c
по схеме состояний составим систему диффе-
ренциальных уравнений:
Pt
0
•
=() −2
λ
P
0
(t) +
μ
P
1
(t) ;
Pt
1
•
=() 2
λ
P
0
(t)
−
(
λ
+
μ
)P
1
(t) ;
Pt
2
•
=()
λ
P
1
(t) . 
      −λP1(s) + sP2(s) = 0 .

     Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим
                                                           λ2
                                     P2 ( s ) =                             .
                                                  s ( s − s1 )( s − s 2 )
      Раскладывая P2(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лап-
ласа, определяем вероятность P2(t) попадания за время (0 , t) в состояние 2
                                            s1 ⋅ e x p [s 2 t ] − s 2 ⋅ e x p [s1 t ]
                           P2 ( t ) = 1 −                                               ,
                                                           s1 − s 2
где обозначено

                                     [
                    s 1 , 2 = 0 ,5 − ( 2 λ + μ ) ±          (2 λ + μ ) 2 − 4 λ 2 .          ]
     Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы вычислительного уст-
ройства за время (0 , t) равна
                   ~                        s1 e x p [s 2 t ] − s 2 e x p [s1 t ]
                   P ( t ) = 1 − P2 ( t ) =                                       .
                                                         s1 − s 2
     Среднее время безотказной работы mt равно
                                 ∞
                                     ~            s + s2    1 ⎛    μ⎞
                      mt =       ∫
                                 0
                                     P (t )dt = − 1
                                                   s1 s 2
                                                          =   ⎜2 +
                                                            λ ⎝
                                                                     ⎟.
                                                                   λ ⎠
       Задача 9.7. Радиолокационная станция сопровождения содержит рабочий блок и блок
в нагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны со-
ответственно λ и μ . Время сопровождения в среднем составляет величину tc . При одновре-
менной неработоспособности обоих блоков сопровождаемая цель теряется и происходит
отказ станции. При переходе на резервный блок потери цели не происходит.
       Требуется определить вероятность непрерывной безотказной работы в течение време-
ни (0 , tc), или, иначе, вероятность непопадания в состоянии 2 на этом интервале и среднее
время безотказной работы станции mt .
       Решение. Радиолокационная станция сопровождения в любой момент времени может
находиться в одном из следующих состояний:
       0 - оба блока работоспособны;
       1 - один блок неработоспособен;
       2 - оба блока неработоспособны.
       Схема состояний представлена на рис.9.12. Работоспособными являются состояния 0
и 1, неработоспособным - 2. Следовательно, вероятность непопадания в состояние 2 за вре-
мя tc определяется как
                                 ~
                                P (tc) = P0(tc) + P1(tc) = 1 − P2(tc) .
                                        ~
       Для определения вероятности P ( t c ) по схеме состояний составим систему диффе-
ренциальных уравнений:
      •
      P0 (t ) = −2λP0(t) + μP1(t) ;
      •
      P1 (t ) = 2λP0(t) − (λ + μ)P1(t) ;
      •
      P2 (t ) = λP1(t) .

Страницы