ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решение.
1. Запишем матрицу квадратичной формы 5 :56
22
yxyx ++
=
53
35
А
2. Составляем характеристическое уравнение матрицы А:
. 0
53
35
)det( =
−
−
=−
λ
λ
λ
EA
3. Решаем характеристическое уравнение и находим собственные значения
матрицы А:
.8,209)5(
21
2
==⇒=−−
λλλ
4. Составляем систему для определения координат собственных векторов:
).
2
1
;
2
1
()1,1(
033
,033
8
).
2
1
;
2
1
()1,1(
,033
,033
2
.0)5(3
,03)5(
0)(
222
111
=⇒=⇒
=−
=+−
⇒=
−=⇒−=⇒
=+
=+
⇒=
=−+
=+−
⇔=−
o
o
rr
rr
ff
yx
yx
ff
yx
yx
yx
yx
XEA
λ
λ
λ
λ
λ
r
r
Векторы
o
r
1
f и
o
r
2
f ортогональны )0(
21
=⋅
oo
ff и определяют направление новых
осей координат и . X
′
O YO
′
5. Проверяем ориентацию системы координат при переходе к новому базису.
Для этого вычисляем определитель
∆
, столбцами которого являются координаты
единичных собственных векторов матрицы
o
r
1
fА − и
o
r
2
f . Если =1, то ориентация ∆
сохранилась, если
∆
= -1, то ориентацию осей следует изменить (достаточно
поменять местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических
чисел и собственных векторов):
=∆
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
−
- ориентация новой системы (
o
r
1
f ,
o
r
2
f ) сохранилась.
r
r
6. В базисе (
o
1
f ,
o
2
f ) имеем - канонический вид
22
82),( yxyxK
′
+
′
=
′′
квадратичной формы ( ⇒
=
> 0,0 F
21
λ
λ
данная кривая является эллипсом).
7. Имея координаты новых базисных векторов
o
r
1
f ,
o
r
2
f , запишем матрицу Т
преобразования старого базиса в новый. Ее строками являются координаты
базисных векторов:
33
Решение.
1. Запишем матрицу квадратичной формы 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 :
5 3
А =
3 5
2. Составляем характеристическое уравнение матрицы А:
5−λ 3
det( A − λE ) = = 0.
3 5−λ
3. Решаем характеристическое уравнение и находим собственные значения
матрицы А:
(5 − λ ) 2 − 9 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ 2 = 8.
4. Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(5 − λ ) x + 3 y = 0,
( A − λE ) X = 0 ⇔
3x + (5 − λ ) y = 0.
3 x + 3 y = 0, r ro 1 1
λ1 = 2 ⇒ ⇒ f 1 = (1,−1) ⇒ f 1 = ( ;− ).
3 x + 3 y = 0, 2 2
− 3x + 3 y = 0, r ro 1 1
λ2 = 8 ⇒ ⇒ f 2 = (1,1) ⇒ f 2 = ( ; ).
3x − 3 y = 0 2 2
r r r r
Векторы f 1 o и f 2 o ортогональны ( f 1 o ⋅ f 2 o = 0) и определяют направление новых
осей координат OX ′ и OY ′ .
5. Проверяем ориентацию системы координат при переходе к новому базису.
Для этого вычисляем определитель ∆ , столбцами которого являются координаты
r r
единичных собственных векторов матрицы А − f 1 o и f 2 o . Если ∆ =1, то ориентация
сохранилась, если ∆ = -1, то ориентацию осей следует изменить (достаточно
поменять местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических
чисел и собственных векторов):
1 1
2 2 ro r o
∆= = 1 - ориентация новой системы ( f 1 , f 2 ) сохранилась.
1 1
−
2 2
ro r o
6. В базисе ( f1 , f 2 ) имеем K ( x ′, y ′) = 2 x ′ 2 + 8 y ′ 2 - канонический вид
квадратичной формы ( λ1 λ 2 > 0, F = 0 ⇒ данная кривая является эллипсом).
r r
7. Имея координаты новых базисных векторов f 1 o , f 2 o , запишем матрицу Т
преобразования старого базиса в новый. Ее строками являются координаты
базисных векторов:
33
