Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 31 стр.

    1. Строим прямую − x + 2 y = 6; x = 0 ⇒ y = 3, y = 0 ⇒ x = −6.
    Неравенству (1) удовлетворяют координаты точек полуплоскости,
содержащей начало координат, так как 0+20< 6 – верное числовое неравенство.
                                            16
    2. Строим прямую 2 x + 3 y = 16; x = 0 ⇒ y =
                                               , y = 0 ⇒ x = 8. Область решений
                                             3
второго неравенства – полуплоскость, содержащая начало координат 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 < 16
- верное числовое неравенство.
     3. Строим прямую x-y=3. Область решений третьего неравенства –
полуплоскость, содержащая начало координат.
     4. x=0 – ось ординат. Неравенство (4) определяет правую полуплоскость.
     5. y=0 – ось абсцисс. Неравенство (5) определяет верхнюю полуплоскость.
                     y
                        (4)
                                  (1)
                            B           (3)
                   A
                                    C
                                                (5)

                  0           D                                  x
                                           (2)
                                       Рисунок 2
    Множеству решений системы линейных неравенств соответствует выпуклый
многоугольник ОАВСД (рисунок 2). Найдем координаты вершин
многоугольника: О(0,0), А(0,3), Д(3,0);
                                    − x + 2 y = 6
                           ( В)                    ⇒ x = 2, y = 4 ⇒ B (2,4);
                                    2 x + 3 y = 16
                                     2 x + 3 y = 16
                           (C )                     ⇒ x = 5, y = 2 ⇒ C (5,2).
                                     x − y = 3
    Поскольку наибольшее и наименьшее значения линейной функции в
выпуклом многоугольнике достигаются в его вершинах, найдем значение
функции в вершинах многоугольника ОАВСД:
                  f (0,0)= − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = 0, f (0,3)= − 1⋅ 0 + 2 ⋅ 3 = 6,
                  f (2,4)= − 1⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 6,    f (5,2)= − 1⋅ 5 + 2 ⋅ 2 = −1,
                 f (3,0)= − 1⋅ 3 + 2 ⋅ 0 = −3.
    Функция достигает наименьшего значения в точке Д, а наибольшего – в двух
точках А и В, т.е. на [А, В].
                                                                                     5 3
         Построить область, на которую отображается матрицей А =     
                                                                   3 5
полученный многоугольник решений с вершинами, заданными радиус-векторами:
                      r           r            r            r          r
                      а1 = (0,0), а 2 = (0,3), а 3 = (2,4), а 4 (5,2), а 5 (3,0).
    Составляем характеристическое уравнение матрицы А:


                                                                                             31