Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 30 стр.

                     − 2 −1 − 5 − 2 −1 − 5
                                                           −3 −6
                 D1 = 3 3 9 = − 3 0 − 6 = ( −1) ⋅ (−1)1+ 2       = 0.
                                                           13 26
                      5 −4 6    13 0 26
      Система линейно зависима.
                           r                             r r r
      Проведем разложение m = (3,−2,7) вектора по базису а1 , а2 , а3 . Запишем
                                      r     r       r       r
разложение           вектора          m = λ1a1 + λ2 a2 + λ3 a3    в   координатной     форме:
(3,−2,7) = λ1 (4,−5,1) + λ2 (1,−1,3) + λ3 (1,−2,−2).
      Получаем систему линейных уравнений:
                                             4λ1+λ2 +λ3 =3;
                                            
                                            −5λ1−λ2 −2λ3 =−2;
                                             λ + 3 λ − 2 λ =7.
                                             1 2 3
      Систему можно решать любым методом.
      Решим методом последовательного исключения неизвестных:
 4 1 1      3   4 1 1           3   3 1 0 4  3 1 0 4  0 1 0               1/ 2 
                                                                                 
 − 5 −1 − 2 − 2  →  − 1 0 − 1 1  →  1 0 1 − 1  → 1 0 1 − 1  →  0 0 1 − 13 / 6 .
 1 3 −2
             7   − 11 0 − 5 − 2   − 6 0 0 − 7  1 0 0 7 / 6  1 0 0 7 / 6 
                             λ1 = 7 / 6, λ 2 = 1 / 2, λ 3 = −13 / 6.
                       r              r r r
      Итак, вектор m в базисе a1 , a 2 , a 3 имеет координаты (7/6,1/2,-13/6), а
разложение вектора т по базису имеет вид:
                                          r 7 r 1 r 13 r
                                          m = а1 + а 2 − а 3 .
                                             6    2     6
Литература /4/, /гл. I, § 8/, /гл. I, п. 1.6/.

                                                       Задача 7
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области,
соответствующей множеству решений системы линейных неравенств для
нулевого варианта.
    Построить область, на которую матрицей отображается многоугольник
допустимых решений.
    Решение.
                                              − x + 2 y ≤ 6;                    (1)
                                              2x + 3 y ≤ 16;                    (2)
                                              
                                               x − y ≤ 3;                       (3)
                                               x ≥ 0;                          (4)
                                               
                                                y ≥ 0.                        (5)


30