Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

3)
.
59
64
47
61154
1704
2281
65
10
28
114
74
21
−−
−=
+−−−
−+−
++−
=
−
−+
−−
−
−
Литература /4/, /гл. III, парагр. 3/.
Задача 5
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление
обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических
дополнений и путем элементарных преобразований:
=+−−
=++−
=++
.2452
;1524
;832
321
321
321
ххх
ххх
ххх
Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно
записать в виде АХ=В, где А - матрица коэффициентов системы; Х – матрица-
столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Умножим слева
обе части равенства АХ=В на
(А существует, если det A=D не равен
нулю), получим:
1−
А
1−
,
1111
ВАХВАЕХВААХА
−−−−
=⇒=⇒= где Е- единичная матрица (
Е
АА
=
−1
).
Вычислим определитель матрицы D:
D=
.72
99
19
)1(1
909
214
109
521
214
321
22
=
−
−
−•=
−
−
−
=
−−
−
+
D не равно нулю, следовательно,
существует.
1−
А
Первый способ нахождения обратной матрицы:
1−
А =
,
....
.................
....
....
det
1
21
22212
12111
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
где -
ij
A
ij
aалгебраические дополнения элементов
данной матрицы.
Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы:
9
52
21
)1(
11
11
=
−
−=
+
A ; 18
51
24
)1(
21
12
=
−
−
−=
+
A ; 9
21
14
)1(
31
13
=
−−
−
−=
+
A ;
16
52
32
)1(
12
21
−=
−
−=
+
A ; 8
51
31
)1(
22
22
=
−
−=
+
A ; 0
21
21
)1(
32
23
=
−−
−=
+
A ;
1
21
32
)1(
13
31
=−=
+
A ; 14
24
31
)1(
23
32
=
−
−=
+
A ; 9
14
21
)1(
33
33
=
−
−=
+
A .
Обратная матрица имеет вид:
1−
А =
.
8/108/1
36/79/14/1
72/19/28/1
909
14818
1169
72
1
−
−
=
−
−
Выполняем проверку:
28
    −1    2   8 2  −1+ 8         2 + 2  7 4 
                                                 
3)  − 4   7  +  0 − 1 =  − 4 + 0 7 − 1  =  − 4 6 .
    − 4 − 11  − 5 6   − 4 − 5 − 11 + 6   − 9 − 5 
                                                 
Литература /4/, /гл. III, парагр. 3/.

                                                             Задача 5
    Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление
обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических
дополнений и путем элементарных преобразований:
                                                      х1 + 2 х 2 + 3 х 3 = 8;
                                                     
                                                     − 4 х1 + х 2 + 2 х 3 = 15;
                                                     − х − 2 х + 5 х = 24.
                                                      1         2      3

    Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно
записать в виде АХ=В, где А - матрица коэффициентов системы; Х – матрица-
столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Умножим слева
обе части равенства АХ=В на А −1 ( А −1 существует, если det A=D не равен
нулю), получим:
     А −1 АХ = А −1 В ⇒ ЕХ = А −1 В ⇒ Х = А −1 В, где Е- единичная матрица ( А −1 А = Е ).
Вычислим определитель матрицы D:
                1    2 3          9 0 −1
                                                               9 −1
      D= − 4       1 2 = −4 1              2 = 1 • (−1) 2 + 2       = 72.
                                                              −9 9
              − 1 −2 5 −9 0                9
      D не равно нулю, следовательно, А −1 существует.

      Первый способ нахождения обратной матрицы:
                     A11 A21 .... An1
                1 A12 A22 .... An 2
     А −1 =                            , где Aij -       алгебраические дополнения элементов a ij
              det A .................
                                                         данной матрицы.
                     A1n A2 n .... Ann
      Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы:
                      1 2                                       −4 2                               −4 1
     A11 = (−1)1+1        =9;                 A12 = (−1)1+ 2         = 18 ;        A13 = (−1)1+ 3        =9;
                     −2 5                                       −1 5                               −1− 2
                      2 3                                        1 3                                1 2
     A21 = (−1) 2 +1       = −16 ;           A22 = (−1) 2 + 2        =8;           A23 = (−1) 2+ 3       = 0;
                     −2 5                                       −1 5                               −1− 2
                     2 3                                         1 3                                1 2
     A31 = (−1) 3+1      = 1;                A32 = (−1) 3+ 2         = 14 ;        A33 = (−1) 3+ 3      =9.
                     1 2                                        −4 2                               −4 1
      Обратная матрица имеет вид:
                                           9 − 16    1  1 / 8 − 2 / 9   1 / 72 
                                       1                                        
                                 А −1 = 18      8 − 14  = 1 / 4 1 / 9 − 7 / 36 .
                                       72 
                                           9    0    9  1 / 8    0     1 / 8 
      Выполняем проверку:
28

Страницы