Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 27 стр.

    Придавая свободным переменным произвольные значения, получаем
множество частных решений. Так, решениями нашей системы будут, например,
векторы (2,5,3,0,0), (3,5,2,1,-2), (0,-1/4,-1,1,1/4) и др. Частное решение, в
котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным
решением.
Литература /4/, /гл. I, парагр. 7,11/.

                                                        Задача 4
      Выполните действия над матрицами:
                      0 − 1
                                                1 −1 
   1 2 − 1 3 4   1 − 2  1 − 2 1 4                 
                                          0 − 2
   − 2 − 1 0 1 2 ×  − 2 0  +  − 2 1 0 1  ×        .
   0 4 1 − 4 1   1 1   0 2 3 − 1            − 1 3
                                            2 − 1
                     − 2 1                            
                            
      Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий.
Первая матрица имеет порядок 3 × 5 , вторая 5 × 2 . Умножение возможно,
поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в
результате умножения получается матрица порядка 3 × 2 . У второго
произведения первая матрица имеет порядок 3 × 4 , вторая 4 × 2 , умножение
возможно, итоговая матрица будет иметь порядок 3 × 2 . Сложение первого
произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрица
3× 2 .
      Следовательно:
                                     0 − 1
                                                
     1 2 − 1 3 4   1 − 2
                               
1)  − 2 − 1 0 1 2  ×  − 2 0  =
                                                
     0 4 1 − 4 1  1 1
                               
                                    − 2       1
                                    
   [1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−2) + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( −2)]     [1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ ( −2) + ( −1) ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1]     
                                                                                                                
=  [(−2) ⋅ 0 + ( −1) ⋅ 1 + 0 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −2)] [ −2 ⋅ (−1) + ( −1) ⋅ ( −2) + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1]   =
   [0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2)]    [0 ⋅ (−1) + 4 ⋅ ( −2) + 1 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1]      
                                                                                                                
  −1        2
               
= − 4       7 ;
   − 4 − 11
               
                     1 −1 
    1 −2 1 4              8 2
                  0 − 2          
2)  − 2 1 0 1  ×         =  0 − 1;
    0                −1 3 
        2 3 − 1         − 5 6 
                           
                     2 − 1




                                                                                                                  27