Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

.
100
010
001
8/518/772/19/29/28/52/18/1
4/136/718/19/19/84/14/12/1
8/318/772/19/29/28/32/18/1
8/108/1
36/79/14/1
72/19/28/1
521
214
321
=
++−−+−−
+−−+++−
+−+−++
=
−
−
×
−−
−
:
1
ВАХ
−
=
Находим решение системы
.
4
3
;1
2
;2
1
,
4
1
2
301
9/423/52
3/19/301
24
15
8
1/8 0 1/8
7/36 - 1/9 1/4
1/72 2/9 - 1/8
=−=−=−
−
=
++
−+
+−
=×=
xxxX
Второй способ основан на элементарных преобразованиях
вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной
матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс
записывается
()
(
)
.//
1−
⇒ АЕЕА
.
8/108/1100
36/79/14/1010
72/19/28/1001
8/108/1100
36/714/9090
8/308/5021
8/108/1100
014190
001321
101800
0141490
001321
100521
010214
001321
−
−
→
−
−
→
→
→
−−
−
Таким образом:
.
8/108/1
36/79/14/1
72/19/28/1
1
−
−
=
−
А
Литература /1/, /гл. V, § 6. п. 3/, /3/, /гл, I, п. 1.4/.
Задача 6
Даны две системы векторов )2,2,1(),3,1,1(),1,5,4(
321
−
−=
−
=
−
=
ааа
r
r
r
и
Определить, какая из этих систем образует
базис; разложить вектор
).6,9,5(),4,3,1(),5,3,2(
321
−=−−=−= bbb
rrr
,3( )7,2
−
=m
r
по этому базису.
Решение.
Используем признак линейной независимости для векторов с
числовыми координатами. Вычисляем определитель:
.06
59
13
)1(1
059
013
114
231
215
114
31
1
≠=−⋅==
−
−−−=
+
D
0
1
≠D
, следовательно, система векторов линейно независима и образует
базис. Вычисляем определитель для второй системы:
29
 1 2    3 1/ 8 − 2 / 9      1/ 72  1/ 8 +1/ 2 + 3 / 8 − 2 / 9 + 2 / 9       1/ 72− 7 / 18+ 3 / 8  1 0 0
                                                                                                       
− 4 1  2  ×1/ 4     1/ 9 − 7 / 36 =  −1/ 2 +1/ 4 +1/ 4     8 / 9 +1/ 9 −1/ 18− 7 / 36+1/ 4  = 0 1 0.
 −1 − 25  1/ 8      0      1/ 8  −1/ 8 −1/ 2 + 5 / 8   2 / 9 − 2 / 9 −1/ 72+ 7 / 18+ 5 / 8 0 0 1

Находим решение системы Х = А −1 В :
                    1/8 - 2/9 1/72   8  1− 30/ 9 +1/ 3   − 2
                                                            
               X = 1/4 1/9 - 7/36  ×15 =  2 + 5/ 3 − 42/ 9 =  −1 , x1 = −2; x2 = −1; x3 = 4.
                    1/8 0 1/8   24 1 + 0 + 3   4 
                                                            
    Второй      способ          основан на элементарных преобразованиях
вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной
матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс
записывается ( А / Е ) ⇒ (Е / А −1 ).
 1 2 3          1 0 0  1               0 1 2 3
                                        2 3 1 0            1 0 0
                                                                 
− 4 1 2          0 1 0  →0             0 →0 9 1
                                        9 14 4 1           4 1 0 →
 −1 − 2 5        0 0 1 0    0 8 1 0 1 0 0 1      1/ 8 0 1/ 8

1 2 0            5/ 8 0 −3/ 8    1 0 0 1/ 8 − 2/ 9 1/ 72
                                                          
0 9 0             9/ 4 1 − 7/ 36 →0 1 0 1/ 4 1/ 9 − 7/ 36.
0 0 1             1/ 8 0 1/ 8  0 0 1 1/ 8 0       1/ 8 

Таким образом:
                                            1 / 8 − 2 / 9     1 / 72 
                                         −1
                                                                      
                                        А = 1 / 4   1/ 9     − 7 / 36 .
                                            1 / 8    0         1 / 8 
                                            
Литература /1/, /гл. V, § 6. п. 3/, /3/, /гл, I, п. 1.4/.


                                                     Задача 6
                                                             r              r              r
      Даны        две      системы            векторов       а1 = (4,−5,1), а2 = (1,−1,3), а3 = (1,−2,−2)    и
r              r               r
b1 = (−2,3,5), b2 = (−1,3,−4), b3 = (−5,9,6). Определить, какая из этих систем образует
                                    r
базис; разложить вектор m = (3,−2,7) по этому базису.
    Решение. Используем признак линейной независимости для векторов с
числовыми координатами. Вычисляем определитель:
                            4  1    1 4 1                1
                                                                         3 1
                    D1 = − 5 − 1 − 2 = 3 1               0 = 1 ⋅ (−1)1+3     = 6 ≠ 0.
                                                                         9 5
                           1   3 −2 9 5                  0

D1 ≠ 0 , следовательно, система векторов линейно независима и образует
базис. Вычисляем определитель для второй системы:


                                                                                                            29

Страницы