Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 26 стр.

    Решение. Прежде всего решим вопрос о совместности системы. Для этой
цели с помощью элементарных преобразований вычислим ранги матрицы А и
расширенной матрицы А , полученной присоединением к А столбца свободных
членов В. Выпишем расширенную матрицу
                                1 1 − 2 − 1 1 1 
                                                
                            А = 3 − 1 1 4 3 4 →
                                1 5 − 9 − 8 1 0 
                                                
    Умножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй, затем умножим
первую же строку на (-1) и сложим ее с третьей:
                             1 1 − 2 − 1 1  1
                                              
                           → 0 − 4 7 7 0 1  →
                             0 4 − 7 − 7 0 −1 
                                              
    Теперь прибавим к элементам третьей строки соответствующие элементы
второй:
                             1 1 − 2 − 1 1          1
                                                       
                           → 0 − 4 7 7 0            1 →
                             0 0 0 0 0              0 
                             
     Расширенная матрица системы А свелась к матрице трапецеидального
вида, на главной диагонали которой стоят два отличных от нуля элемента (1 и -
4). Значит, rang А =2.
     Аналогично можно показать, что rang А =2. Так как rang А = rang А , то по
теореме Кронекера – Капелли система совместна, а так как число неизвестных
больше числа уравнений, система является неопределенной.
     Решаем систему, составленную из двух первых уравнений, причем
неизвестные х3 , х4 , х5 считаем свободными. Разделим второе уравнение на (-4):
                           1 1 − 2        −1 1      1 
                        →                               →
                            0 1 − 7 / 4 − 7 / 4 0 − 1/ 4
    Исключим второе неизвестное из первого уравнения, умножим второе
уравнение на (-1) и сложим его с первым:
                           1 0 − 1 / 4   3/ 4 0        5/ 4 
                        →                                     .
                           0 1 − 7 / 4 − 7 / 4 0      − 1 / 4 
     В результате получим систему
                                 1      3           5
                           х1 − 4 х3 + 4 х4 + х5 = 4
                           
                           х − 7 х − 7 х = − 1 .
                            2 4 3 4 4           4
     Выражая базисные переменные х1 , х 2 через свободные, запишем общее
решение системы:
                                    5 1       3
                                х  =  +  х   −   х 4 − х5
                               1
                                     4 4
                                           3
                                               4
                              
                              х = − 1 + 7 х + 7 х .
                               2    4 4
                                             3
                                                 4
                                                     4




26