Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 24 стр.

     в) Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки Α 1 , Α 2 , Α 3 .
     Подставим координаты точек в уравнение (2):

       x−2 y −0      z −6       x−2        y z −6
      −1 − 2 2 − 0 4 − 6 = 0 ⇒ − 3         2       − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(− 14 + 10) − y(21 − 8) + (z − 6)(− 15 + 8) = 0 ⇒
      − 2 − 2 5 − 0 −1 − 6       −4        5 −7
                                          4x − 13y − 7 z + 34 = 0.
Найти угол между прямыми Α 1 Α 4 и Α 2 Α 4 .
    Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими
векторами.                                   r
    Направляющий вектор прямой Α 1 Α 2 → S 12 = (− 2 ,1,3 ), направляющий вектор
                 r
прямой Α 1 Α 4 → S 14 = (− 3 , 4 , − 2 ) :
                 r ∧r                 (− 2 ) ⋅ (− 3 ) + 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2 )
     cos ϕ = cos S , S  =
                                                                                                              4
                                                                                                     =                ;
                 12 14 
                                 (− 2) + 1 + 3 ⋅ (− 3) + 4 + (− 2)
                                               2        2    2           2       2              2           14 ⋅ 29

                                                        4           1
                                 ϕ = arccos                 ≈ arccos = 78 o 20' .
                                                        406         5
      4. Найти угол между плоскостями Α 1 , Α 2 , Α 3 и Α 2 , Α 3 , Α 4 .Угол между
плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. Из
уравнения плоскости Α 1 , Α 2 , Α 3 (3) следует, что ее нормальный вектор
 r
N 123 = (8, 13, 1). Из уравнения плоскости    Α 2 , Α 3 , Α 4 (6) определяем ее
                       r
нормальный вектор N 234 = (4, − 13, − 7) :
                r ∧r                                                 ( )
     cosα = cos N , N  =
                                               8 ⋅ 4 + 13 ⋅ (−13) + 1 ⋅ − 7                         − 130
                                                                                         =                     = −0,56;
                123 234 
                                    2            2    2
                                   8 + 13 + 1 ⋅ 4 + (−13) + − 7
                                                                 2       2
                                                                              ( )    2          234 ⋅ 234

                          α = arccos(−0,56) ≈ 90 o + 56 o = 146 o .
     5. Определить расстояние от точки Α 1 :
     а) до плоскости Α 2 Α 3 Α 4 .
     Расстояние        от    точки         с           координатами           (x1 , y1 , z1 )       до       плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 ищем по формуле
                                          Ax1 + By1 + Cz1 + D
                                 d=                                                                         (7)
                                                A2 + B 2 + C 2
     Подставляя        координаты           точки А1 (1, 1, 1 ) и нормального                                     вектора
                             r
плоскости Α 2 Α 3 Α 4        N = (4, − 13, − 7) в формулу (7), получим



24