Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 22 стр.

                                  А1 А3 = ( x 3 − x1 , y 3 − y1 , z 3 − z1 ) = ( −2, 2, 0);
                                  А1 А4 = ( x 4 − x1 , y 4 − y1 , z 4 − z1 ) = ( −3, 1, 6).
    Объем пирамиды равен модулю одной шестой доли смешанного
произведения векторов А1 А2 , А1 А3 , А1 А4 :
                                            −4 1 3
                                          1         1
                                       V = − 2 2 0 = ⋅ (−24) = 4 .
                                          6         6
                                            −3 1 6
     2. Найдем длину ребра А2 А3 :
                  А2 А3 = ( x 3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 + ( z 3 − z 2 ) 2 = 4 + 1 + 9 = 14
    3. Вычислить площадь грани А1 , А2 , А3 .
    Площадь          ∆А1 А2 А3 равна     половине     площади         параллелограмма,
построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 . Площадь параллелограмма,
построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 , совпадает с модулем векторного
произведения А1 А2 × А1 А3 , а поэтому площадь ∆А1 А2 А3 .
                                                r r r
                                                i j k
                    1                                         r     r    r
       S ∆А1 А2 А3 = А 1 А2 × А 1 А3 = 1 / 2 − 4 1 3 = 1 / 2 6i − 6 j − 6k = 3 3
                    2
                                             −2 2 0
      4. Найдем угол между ребрами А1 А2 и А1 А4 . Угол ϕ между векторами А1 А2 и
А1 А4 вычислим по формуле:
              А1А2 × А1А4            (−4) ⋅ (−2) +1⋅ 2 + 3⋅ 0              10
     cosϕ =                 =                                         =        ≈ 0,69
              А1А2 × А1А4       (−4)2 +12 + 32 ⋅ (−2)2 + 222 + 02         4 13
     По таблицам ϕ ≈ 46o20' .
     Литература /1/, /гл. I, парагр. 3/.

                                                           Задача 2
    Средствами аналитической геометрии:
    1)записать уравнения прямой, проходящей через точку Α 1 параллельно
прямой Α 2 Α 3 ;
    2) записать уравнение плоскости, проходящей:
       а) через прямую Α 2 Α 3 и точку Α 1 ;
       б) через точку Α 1 перпендикулярно прямой Α 2 Α 3 ;
       в) через три точки Α 1 , Α 2 , Α 3 ;
     3) найти угол между прямыми Α 1 Α 2 и Α 2 Α 4 ;
     4) найти угол между плоскостями Α 1 Α 2 Α 3 и                              Α 2Α3Α 4      ;
     5) определить расстояние от точки Α 1 :
        а) до плоскости Α 2 Α 3 Α 4 ;
        б) до прямой Α 2 Α 3 .

22