Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Липилина В.В. - 23 стр.

    Координаты точек А1 (5, 1, − 4), А2 (1, 2, − 1), А3 (3, 3, − 4), А4 (2, 2, 2)
    Решение.
    1. Запишем канонические уравнения прямой, проходящей через заданную
                                         r
точку А1 (1, 1,1) параллельно вектору S = ( m, n, p ) , называемому направляющим:
                                          x −1         y −1       z −1
                                                 =            =                                            (1)
                                           m            n           p
    Так как, прямые (1) и Α 2 Α 3 должны быть параллельны, то в качестве
направляющего    для    прямой    (1)  может    быть   выбран     вектор
А 2 А 3 = (2-(-1);   0-2, 6-4) = (3,-2,2).
         Уравнение прямой (1) примет вид
                                    x −1                            y −1       z −1
                                                   .            =          =
                                    3    −2     2
    2. а) Записать уравнение плоскости, проходящей через точку Α 1 и
прямую Α 2 Α 3 .
    Так как точки Α 1 , Α 2 и Α 3 принадлежат искомой плоскости, то можно
воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки
(x1 , y1 , z1 ), (x 2 , y 2 , z 2 ), (x3 , y3 , z 3 ) :
                                       x − x1        y − y1       z − z1
                                       x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0                                               (2)
                                       x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
      Подставляя в уравнение (2) координаты точек Α 1 , Α 2 , Α 3 получим:
         x −1    y −1    z −1          x −1     y −1    z −1
       −1 −1     2 −1 4 −1 = 0 ⇒ − 2              1           3 = 0 ⇒ (x − 1)(5 + 3) − ( y − 1)(− 10 − 3) + (z − 1)(2 − 1) = 0 ⇒
         2 −1    0 −1 6 −1        1              −1           5
                                                        8 x + 13 y + z − 22 = 0


       б) Записать уравнение плоскости, проходящей через точку Α 1 и
перпендикулярно прямой Α 2 Α 3 .
       Уравнение          плоскости,             проходящей
                                                         r               через       заданную    точку
(x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно вектору N = ( A, B, C ), называемому нормальным,
имеет вид:
                                         A(x − x1 ) + B( y − y1 ) + C (z − z1 ) = 0.          (4)
                                                    r
       Направляющий вектор прямой S = (3,−2,2) .
       Если прямая перпендикулярна плоскости, то направляющийr вектор прямой
и нормальный вектор плоскости коллинеарны. Поэтому вектор S = (3,−2,2)
можно взять в качестве нормального вектора плоскости, и уравнение (4) для
искомой плоскости запишется в виде:
                      3(x − 1) + (−2)( y − 1) + 2(z − 1) = 0 ⇒ 3x − 2 y + 2 z − 3 = 0.        (5)

                                                                                                                        23