ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
.8;2;09)5(;0
53
35
21
2
===−−=
−
−
λλλ
λ
λ
Принимая ,2
1
=
λ
получаем для определения соответствующего собственного
вектора уравнения
;
033
,033
21
21
21
tt
tt
tt
−=⇒
=+
=+
r
r
r
полагая ,
2
α
−=t находим
α
=
1
t и ).(
1
jir −=
α
Нормируем вектор :
1
r
r
.
22
1
j
i
e
r
r
r
−=
Полагая ,8
2
=
λ
получаем для определения второго собственного вектора
систему уравнений
).(,
033
,033
221
21
21
jir
rr
r
+===⇒
=−
=+−
ββηη
ηη
ηη
r
r
Нормируем вектор :
2
r
r
.
22
2
j
i
e
r
+=
'
y
а
а
y
x
'
x
Рисунок 3
5
а
′
r
r
а
r
3
3
′
r
2
′
r
4
а
′
r
5
а
′
r
4
а
r
5
а
r
2
а
r
Векторы и ортогональны и определяют направление новых осей
1
e
r
2
e
координат, и . Найдем проекции вектора XO
′
YO
′
1
а
r
в системе координат YOX
′
′
;
умножив проекции
1
а
r
на 2
1
=
λ
и ,8
2
=
λ
получим образ вектора - вектор а
1
а
r
1
′
r
.
Аналогично находим образы векторов ,
2
а
r
,
3
а
r
,
4
а
r
.
5
а
r
Получаем многоугольник
с вершинами определяемыми векторами
1
а
′
r
, ,
2
а
′
r
,
3
а
′
r
,
4
а
′
r
.
5
а
′
r
(рисунок 3). Полученный
многоугольник является областью, на которую отображается матрицей А
многоугольник решений.
Литература /1/, /2/.
Задача 8
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
0161616565
22
=−−−++ yxyxyx и построить эту кривую.
32
5−λ 3
= 0; (5 − λ ) 2 − 9 = 0; λ1 = 2; λ 2 = 8.
3 5−λ
Принимая λ1 = 2, получаем для определения соответствующего собственного
вектора уравнения
3t1 + 3t 2 = 0,
⇒ t1 = −t 2 ;
3t1 + 3t 2 = 0
r r r
полагая t 2 = −α , находим t1 = α и r1 = α (i − j ).
r
Нормируем вектор r1 :
r r
r i j
e1 = − .
2 2
Полагая λ 2 = 8, получаем для определения второго собственного вектора
− 3η 1 + 3η 2 = 0, r r r
систему уравнений ⇒ η 1 = η 2 = β , r2 = β (i + j ).
3η 1 − 3η 2 = 0
r r
r r i j
Нормируем вектор r2 : e 2 = + .
2 2
y'
r
а3′
r
а 2′
r
а4 r
y r
а3 а4′
x
r r
а2
а5
r x'
r а5′
Рисунок 3 а5′
r r
Векторы e1 и e 2 ортогональны и определяют направление новых осей
r
координат, OX ′ и OY ′ . Найдем проекции вектора а1 в системе координат X ′OY ′ ;
r r r
умножив проекции а1 на λ1 = 2 и λ 2 = 8, получим образ вектора а1 - вектор а1′ .
r r r r
Аналогично находим образы векторов а 2 , а 3 , а 4 , а 5 . Получаем многоугольник
r r r r r
с вершинами определяемыми векторами а1′ , а 2′ , а 3′ , а 4′ , а 5′ . (рисунок 3). Полученный
многоугольник является областью, на которую отображается матрицей А
многоугольник решений.
Литература /1/, /2/.
Задача 8
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 16 x − 16 y − 16 = 0 и построить эту кривую.
32
