Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теплоноситель
Т
т
Т
вх
Т
вых
Рис. 1.6. Конструкция трубчатого теплообменника
Входными координатами данного объекта являются температура Т
вх
нагреваемой жидкости на входе в те-
плообменник; температура Т
т
теплоносителя; скорость u движения жидкости по трубам. Выходная координата
– температура T(τ, l) в любой момент времени τ в любом сечении, находящемся на расстоянии l от начала тру-
бы.
Для получения математической модели выбранного объекта рассмотрим в качестве звена одну трубу теп-
лообменника.
Примем допущения:
1. Движение нагреваемой жидкости в трубе описывается гидродинамической моделью «идеальное вытес-
нение».
2. Температура теплоносителя Т
т
постоянна по длине трубы и во времени.
3. Коэффициент теплопередачи k
т
не меняется по длине трубы.
4. Плотность ρ и теплоемкость С
t
нагреваемой жидкости постоянны.
C учетом принятых допущений математическую модель динамики трубчатого теплообменника можно за-
писать в следующем виде:
т
Q
l
q
u
q
+
∂
∂
−=
τ∂
∂
, (1.64)
где
q∂ – изменение количества тепла нагреваемой жидкости; Q
т
– количество тепла, поступающего к нагревае-
мой жидкости от теплоно-сителя.
Выразим
q∂ через изменение температуры T
∂
нагреваемой жидкости:
q
∂
= c
t
∆Vρ T
∂
, (1.65)
где с
t
– теплоемкость нагреваемой жидкости; ρ – плотность нагреваемой жидкости; ∆V – объем нагреваемой
жидкости.
Аналогично выразим через Т тепло Q
т
:
Q
т
= k
т
∆F(T
т
– T); (1.66)
здесь k
т
– коэффициент теплопередачи; ∆F – площадь поверхности теплообмена; Т
т
– температура теплоносите-
ля.
Подставим зависимости (1.65), (1.66) в уравнение (1.64):
)(
тт
TTFk
l
T
Vuc
T
Vc
tt
−∆+
∂
∂
ρ∆−=
τ∂
∂
ρ∆ .
Выразим ∆V и ∆F через длину трубы ∆l и диаметр D трубы:
∆F = πD∆l; ∆V = ∆lπD
2
/4.
Окончательно получаем:
)).,((
4
),(),(
т
т
т
lTT
Dc
k
l
lT
u
lT
τ−
ρ
=
∂
τ∂
+
τ∂
τ∂
(1.67)
Краевые условия: Т(0, l) = Т
0
(l); Т(τ, 0) = Т
вх
(τ).
Область определения независимых переменных: 0 ≤ τ ≤ τ
max
, 0 ≤ l ≤ L, где L – длина трубы.
Для решения дифференциального уравнения (1.67) будем использовать метод сведения к обыкновенным
дифференциальным уравнениям с параметром [11], называемый также методом характеристик.
Заменим τ и l через α и β:
τ = α + β; l = u(α − β); T(τ, l) = T(τ(α, β), l(α, β)).
В результате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида:

Страницы