Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

W
i
(t
0
) = W
i
(t
1
) = 0;
W
i
'
(t
0
) = W
i
'
(t
1
) = 0;
W
i
(n–1)
(t
0
) = W
i
(n–1)
(t
1
) = 0.
Этим условиям удовлетворяют, например, функции вида
W
i
(t) = (t – t
0
)
n
(t – t
1
)
n
ϕ
i
(t),
где ϕ
I
(t) – произвольные непрерывные функции.
В задаче с подвижными границами (3.12), после задания некоторой функции х
n
и задания начальных при-
ближений коэффициентов а
i
, требуется дополнительно решать уравнение x
n
(t) = ϕ (t), из которого определяют
левую границу (t
0
, х
0
), и уравнение x
n
(t) = ψ (t), из которого определяют правую границу (t
1
, x
1
)
интегрирования
функционала.
В задаче со связями (3.10) составляется вспомогательный функционал (3.11), для которого методом Ритца
ищется экстремаль, при этом к n искомым коэффициентам а
1
, a
2
, ..., а
n
добавляются n + 1 неизвестные λ
j
.
Порядок выполнения работы
1. Составить структурную схему алгоритма нахождения экстремума функционала, приведенного в табл.
3.1, методом Ритца (четные варианты) и методом Канторовича (нечетные варианты).
2. Подобрать три функции х
n
: n = 2, 3, 4 (здесь n – количество искомых коэффициентов), удовлетворяю-
щие граничным условиям.
3. Составить программу для вычислительной машины, реализующую алгоритм из п. 1.
4. Найти экстремум функционала и экстремали для n = 2, 3, 4.
5. Для каждого решения построить графики экстремалей в тех же координатах, которые использовались в
практической работе 3.1.
Содержание отчета
Структурная схема алгоритма решения задачи. Выбранные экстремали с найденными коэффициентами и
их графики для n = 2, 3, 4. Экстремальные значения функционала для n = 2, 3, 4.
Контрольные вопросы
1. Какие требования предъявляются к функциям, используемым в прямых методах Ритца и Канторовича?
2. Какой из прямых методов решения вариационных задач позволяет получить решение с меньшим количест-
вом искомых коэффициентов?
3. При каких условиях решение, найденное прямым методом, стремится к точному?
4. Какой из методов (Ритца или Канторовича) требует больших вычислительных затрат при его реализа-
ции?
Литература: [18], [22].
Лабораторная работа 3.3
ПОИСК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА
ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ
Цель: приобретение навыков решения оптимизационных вариационных задач прямыми конечно-
разностными методами.
Задание: найти экстремум и экстремали функционала прямым методом локальных вариаций.
Общие положения
Прямые конечно-разностные методы заключаются в том, что решение ищется не на произвольных функ-
циях, а лишь на ломаных, составленных из конечного числа n прямолинейных звеньев с заданными через ∆t
абсциссами вершин. Таким образом, требуется найти n значений х
i
(t
0
+ i∆t), при которых функционал экстре-
мален. Задача поиска непрерывной функции сводится к более простой задаче отыскания n значений этой функ-
ции.
Согласно методу локальных вариаций, заданный интервал интегрирования [t
0
, t
1
] разбивается на n отрезков
и задаются начальные приближения х
10
, x
20
, ..., х
n0
значений функции. Затем n – 1 значение х фиксируется, а х
1
меняется до тех пор, пока функционал не достигнет экстремума. Далее меняется x
2
и т.д. Метод аналогичен ме-
тоду покоординатного спуска нелинейного программирования.
В задаче с подвижными границами (3.12) алгоритм несколько усложняется. Задается начальное приближение t
0
и определяется х
0
= ϕ (t
0
). Далее задается t
1
, и находится х
1
= ψ (t
1
). После этого отрезок [t
0
, t
1
] разбивается на n
интервалов и методом локальных вариаций находятся значения х
1
, х
2
, ..., х
n
. Далее меняются значения t
0
, t
1
до
тех пор, пока функционал не достигнет экстремума.

Страницы