Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В случае решения задачи с подвижными границами дополнительно подбирается значение t
0
, а в случае
изопериметрической задачи – значение λ.
Подбор значений производной на левом конце интегрирования, значения t
0
для задачи с подвижными гра-
ницами, значения λ в изопериметрической задаче осуществляется любым методом нелинейного программиро-
вания.
После численного решения задачи, найденная табличная функция используется для вычисления значения
функционала по методу прямоугольников, трапеций
или Симпсона.
Порядок выполнения работы
1. Составить структурную схему алгоритма решения уравнения Эйлера, Эйлера-Пуассона или системы
уравнений Эйлера, составленных при выполнении практической работы 3.1, методом пристрелки или прогонки.
Шаг интегрирования использовать не менее 0,01 от интервала интегрирования.
2. Подготовить программу для ЭВМ, реализующую алгоритм из п. 1.
3. Найти экстремали и построить их графики в тех же координатах, которые использовались в практиче-
ской работе 3.1.
4. Вычислить значение функционала для найденной численно экстремали и сравнить его с истинным зна-
чением, полученным аналитическим методом.
Содержание отчета
Структурная схема алгоритма решения задачи. Графики полученных экстремалей. Экстремальное значе-
ние функционала.
Контрольные вопросы
1. Какие методы используются для численного решения краевых задач?
2. В чем заключаются особенности численного решения уравнения Эйлера при наличии уравнении связи
голономного и неголономного типа?
Литература: [20], [21].
Лабораторная работа 3.2
ПОИСК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА
ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ РИТЦА И КАНТОРОВИЧА
Цель: приобретение навыков решения оптимизационных вариационных задач прямыми методами.
Задание: найти экстремум и экстремали функционала прямыми методами Ритца или Канторовича.
Общие положения
Сложность подынтегральной функции исходного функционала часто не позволяет получить уравнение
Эйлера, либо это уравнение получается чрезвычайно громоздким. В таких случаях целесообразно использовать
прямые методы решения вариационной задачи, которые заключаются в подборе функции, при которой функ-
ционал имеет экстремум. При этом не используется необходимое условие экстремума и не решается уравнение
Эйлера.
Метод Ритца заключается в том, что значения функционала рассматриваются не на произвольных функци-
ях, а на возможных линейных комбинациях функций W
i
(t).
Для выбора функций W
i
может быть использован следующий подход. Выбирается одна функция W
0
(t), ко-
торая удовлетворяет заданным граничным условиям:
W
0
(t
0
) = x
0
; W
0
(t
1
) = x
1
.
Все остальные функции W
i
(t) выбираются из условия
W
i
(t
0
) =W
i
(t
1
) = 0,
и решение ищется среди функций
∑
=
+=
n
i
iin
tWtWax
1
0
)()(
.
Нулевые значения в граничных точках имеют, например, функции вида
W
i
(t) = (t – t
0
)(t – t
1
)ϕ
i
(t) или W
i
(t) = sin (iπ(t – t
0
)/(t – t
0
))ϕ
i
(t),
где ϕ
i
(t) – произвольные непрерывные функции.
В случае, если подынтегральная функция исходного функционала зависит от производных высших поряд-
ков, выбор функций W
i
усложняется. Пусть, например, требуется решить задачу (3.6). В этом случае функция
W
0
(t) должна удовлетворять 2n граничным условиям; а функция W
i
(t) должны выбираться из условий:

Страницы