Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 34 стр.

                                                         Задача 4
        Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства
Х n задан произвольный вектор x = {x1 , x2 ,...., xn }.
        Является ли линейным оператор                                                A : Х n a Х n , такой что
Ax = { f1 ( x1 , x2 ,..., xn ), f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ),..., f n ( x1 , x2 ,..., xn )} , где       f1 , f 2 ,....., f n -
некоторые функции n переменных?
        План решения.
        Если x = {x1 , x2 ,..., xn }, у = { y1 , y 2 ,..., y n } - произвольные векторы
пространства Х n , то x + y = {x1 + y1 , x2 + y 2 ,.., y1 + y n } , αx = { αx1 ,αx2 ,...,αxn }.
      Проверяем условия линейности оператора:

           A( x + y ) = Ax + Ay,            A(αx ) = αAx.

          Если условия линейности выполнены, т.е.

           A( x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., xn + y n ) = f i ( x1 , x2 ,..., xn ) + f i ( y1 , y 2 ,..., y n ) ,

           f i (αx1 ,αx2 ,...,αxn ) = αf i ( x1 , x2 ,..., xn )

при i = 1,2,....., n , то оператор A линеен, в противном случае оператор A не
является линейным оператором.
       Пример. Пусть в некотором базисе линейного пространства Х 3 задан
произвольный вектор x = {x1 , x 2 , x3 }.
       Является ли линейным оператор                          A: Х3 a Х3     такой, что
Ax = {x1 − x2 ,2 x1 + x3 ,3 x1}?
       Решение. Пусть x = {x1 , x 2 , x3 }, y = { y1 , y 2 , y3 } - произвольные векторы
пространства X 3 . Тогда x + y = {x1 + y1 , x2 + y 2 , x3 + y3 },αx = {αx1 ,αx2 ,αx3 }.
Проверяем условия линейности оператора

          A( x + y ) = {( x1 + y1 ) − ( x2 + y 2 ), 2( x1 + y1 ) + ( x3 + y3 ), 3( x1 + y1 )} =
          = {x1 − x2 , 2 x1 + x3 , 3 x1} + { y1 − y 2 , 2 y1 + y3 , 3 y1} = Ax + Ay
          A(αx ) = {αx1 − αx2 , 2αx1 + αx3 , 3αx1} = α {x1 − x2 , 2 x1 + x3 , 3 x1} = αAx

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор A линеен.
      Ответ: Оператор A линеен.

                                                       Задача 5
     Постановка задачи.
      В некотором базисе трехмерного линейного пространства X 3 заданы
отображения


34