Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

35
},,,{
333232131323222121313212111
xaxaxaxaxaxaxaxaxaAxx ++
+
+
++=→
},,,{
333232131323222121313212111
xbxbxbxbxbxbxbxbxbBxx ++
+
+
++=→
где },,{
321
xxxx = - произвольный вектор пространства
3
X . Найти координаты
векторов
()
xBAPy ,= (в том же базисе), где
(
)
BAP , - многочлен относительно
операторов
A
и
B
.
План решения. Так как при сложении операторов их матрицы
складываются, при умножении на число – умножаются на это число, а матрица
композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти
матрицу
()
BAP ,, где
A
и
B
– матрицы операторов
A
и
B
. Затем столбец
координат вектора
()
xВАРу ,= находим по формуле
()
XBAP ⋅,, где
−X столбец координат вектора
x
.
1. Построим матрицы операторов
A
и
B
:
.,
333231
232221
131211
333231
232221
131211
=
=
bbb
bbb
bbb
B
aaa
aaa
aaa
А
2. По правилам сложения матриц, умножение матрицы на число и
умножения матриц находим матрицу
(
)
:, BAP
()
.,
333231
232221
131211
=
ppp
ppp
ppp
BAP
3. Находим столбец координат образа вектора :
x
..
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
=
y
y
y
x
x
x
ppp
ppp
ppp
Записываем ответ в виде
(
)
}.,,{,
321
yyyxBAP
=
Пример.
В некотором базисе трехмерного линейного пространства
3
Х заданы
отображения
},,,{
332321
xxxxxxAxx +−+=→
},,,2{
2132
xxxxBxx −+=→
где },,{
321
xxxx = - произвольный вектор пространства
3
X .
Найти координаты вектора
()
xBAA
⋅
+
2 в том же базисе.
Решение.
1. Построим матрицы операторов
A
и
B
: 
      x → Ax = {a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 },
      x → Bx = {b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 , b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 , b31 x1 + b32 x2 + b33 x3 },

где x = {x1 , x2 , x3 } - произвольный вектор пространства X 3 . Найти координаты
векторов y = P( A, B )x (в том же базисе), где P( A, B ) - многочлен относительно
операторов A и B .
       План решения. Так как при сложении операторов их матрицы
складываются, при умножении на число – умножаются на это число, а матрица
композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти
матрицу P( A, B ) , где A и B – матрицы операторов A и B . Затем столбец
координат вектора у = Р( А, В )x находим по формуле P( A, B ) ⋅ X , где
 X − столбец координат вектора x .
       1. Построим матрицы операторов A и B :
                                   a11 a12 a13           b11 b12 b13 
                                                                     
                              А =  a 21 a 22 a 23 , B =  b21 b22 b23 .
                                  a                     b            
                                   31 a32 a33            31 b32 b33 

     2. По правилам сложения матриц, умножение матрицы на число и
умножения матриц находим матрицу P( A, B ) :

                                     p11 p12 p13 
                                                    
                        P( A, B ) =  p 21 p 22 p 23 .
                                    p               
                                     31 p32 p33 
       3. Находим столбец координат образа вектора x :

                              p11    p12    p13   x1   y1 
                                                    
                              p 21   p 22   p 23 . x 2  =  y 2 .
                             p       p32    p33   x3   y3 
                              31

        Записываем ответ в виде P( A, B )x = { y1 , y 2 , y 3 }.
      Пример.
       В некотором базисе трехмерного линейного пространства Х 3 заданы
отображения
       x → Ax = {x1 + x2 − x3 , x2 + x3 , x3 },
      x → Bx = {x2 + 2 x3 , − x1 , x2 },
где x = {x1 , x2 , x3 } - произвольный вектор пространства X 3 .
Найти координаты вектора (2 A + A ⋅ B )x в том же базисе.
        Решение.
        1. Построим матрицы операторов A и B :


                                                                                                35

Страницы