Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 37 стр.

             1. Находим матрицу перехода C . Так как столбцы матрицы перехода от
базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ - это столбцы координат векторов
e1′ , e2′ ,.., en′ в базисе e1 , e2 ,.., en , то матрица перехода имеет вид

                               c11 c12       ... c1n 
                                                      
                              c     c        ... с2 n 
                          C =  21 22                   .
                                 ... ...      ... ... 
                                                     
                                cn1 cn 2     ... cnn 

           2. Находим обратную матрицу C −1 и проверяем, что C −1 ⋅ C = E.
           3. По формуле (2) находим столбец координат вектора x в базисе
e1 , e2 ,.., en′ :
 ′    ′

                                             α1′ 
                                             
                                            α ′ 
                          X e′ = C −1 X e =  2 .
                                               ...
                                             
                                              α n′ 

записываем ответ в виде xe′ = {α1′ , α 2′ ,.., α n′ }.
      Пример. Вектор x в базисе e1 , e2 , e3 имеет координаты {1,2,3} . Найти
координаты вектора x в базисе e1′ , e2′ , e3′ , где

                          e1′ = e1 + 2e3 ,
                          e2′ = e2 + e3 ,
                          e3′ = −e1 − e2 − 2e3 .
       Решение.
       1. Находим матрицу перехода

                              1 0 −1
                                       
                          С =  0 1 − 1 .
                               2 1 − 2
                                       

       2. Находим обратную матрицу C −1 методом Гаусса:

       1 0 −1          1 0 0   1 0 0                     − 1 − 1 1
                                                                   
       0 1 −1          0 1 0 ⇒ 0 1 0                     − 2 0 1
       2 1 − 2         0 0 1  0 0 1                     − 2 − 1 1
                                


                                                                                   37