Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 32 стр.

      1. Записываем расширенную матрицу и с помощью элементарных
преобразований строк приводим матрицу Aрасш к редуцированному виду:

                0 1 2 − 3 0                  − 1   1 0 5 2 − 3 2 2               2
                                                                                    
                 2 −1 3 0 4                   5  ⇒ 0 1 2    −3 0                − 1.
                2 0 5 − 3 4                   4   0 0 0     0   0               0 
                                                    

        2. Так как RgA расш = RgA = 2 , то система совместна. Так как
n = r = 5 − 2 = 3 , то общее решение неоднородной системы линейных уравнений
определяется формулой

                         X о.н. = X ч.н. + C1 X 1 + C2 X 2 + C3 X 3 ,

где X ч.н. - какое-нибудь частное решение неоднородной системы, X 1 , X 2 , X 3 -
фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и
C1 , C 2 , C3 - произвольные постоянные.
           3. Запишем соответствующую однородную систему уравнений

                                              x 2 + 2 x3 − 3 x 4      = 0,
                         
                         2 x1 − x 2 + 3 x3                         + 4 x5 = 0,
                               2 x1            + 5 x3 − 3 x 4      + 4 x 5 = 0.
                         

      Она совпадает с системой, приведенной в примере 3.1. (Если однородная
система уравнений не совпадает с системой, приведенной в примере 3.1 , то для
нахождения фундаментальной системы решений повторим операции,
использованные при решении примера 3.1.)
      При решении примера 3.1 была найдена фундаментальная система
решений однородной системы уравнений:

                                − 5 2     3 2         − 2
                                                      
                                 − 2        3
                                                        0 
                         X 1 =  1 , X 2 =  0 , X 3 =  0 .
                                                      
                                  0        
                                              1           0 
                                0          0          1 
                                                      

      4. Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы.
      Неизвестные x1 , x 2 , соответствующие базисным столбцам, являются
базисными, неизвестные x3 , x 4 , x5 - свободными.



32