Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 31 стр.

и с помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу A расш к
редуцированному виду.
      2. Вычисляем ранги основной матрицы системы A и расширенной
матрицы A расш . Если RgA расш = RgA , то система совместна, если
RgA расш ≠ RgA , то система несовместна (решений не имеет).
      3. Пусть RgA расш = RgA = r. Тогда общее решение неоднородной
системы линейных уравнений определяется формулой

                            X о.н. = X ч.н. + С1 X 1 + С2 X 2 + .... + Cn − r X n − r ,

где X ч.н. - какое-либо частное решение неоднородной системы, X 1 , X 2 ,..., X n − r -
фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и
C1 , C 2 ,..., C n − r - произвольные постоянные.
           Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы
уравнений X 1 , X 2 ,..., X n − r , повторим операции, изложенные в задаче 3.1.
           4. Столбец сводных членов B расширенной матрицы есть линейная
комбинация базисных столбцов матрицы A . Добавляя к этому выражению
остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение
столбца свободных членов по всем столбцам матрицы A . Коэффициенты этого
разложения образуют частное решение неоднородной системы X ч.н.
           5. Записываем общее решение неоднородной системы линейных
уравнений:

                               x1 
                               
                              x 
                     X о.н. =  2  = X ч.н. + С1 X 1 + C2 X 2 + ... + C n − r X n − r ,
                                 ....
                               
                                xn 

где        X ч.н. - какое-нибудь частное решение неоднородной системы,
 X 1 , X 2 ,..., X n − r - фундаментальная система решений соответствующей
однородной системы уравнений и C1 , C 2 ,..., C n − r - произвольные постоянные.
           Пример 3.2. Найти общее решение неоднородной системы линейных
уравнений

                                                 x2 + 2 x3 − 3 x4        = −1,
                           
                           2 x1 − x2 + 3 x3                            + 4 x5 = 5,
                                 2 x1              + 5 x3 − 3 x4       + 4 x5 = 4.
                           


       Решение.
                                                                                           31