Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

29
3. Неизвестные
21
, xx , соответствующие базисным столбцам, являются
базисными, неизвестные
543
,, xxx - свободными.
Запишем систему уравнений с матрицей
ред
A (эта система эквивалентна
исходной) и перенесем, свободные неизвестные в правые части уравнений
системы:
+−=
−+−=
.32
,22325
432
5431
xxx
xxxx
Для первого набора свободных неизвестных 0,0,1
543
=
== xxx
получаем,
,2,25
21
−=−= xx т.е. первое решение системы имеет вид
.
0
0
1
2
25
1
−
−
=X
Для второго набора свободных неизвестных 0,1,0
543
=
== xxx
получаем,
,3,23
21
== xx т.е. второе решение системы имеет вид
.
0
1
0
3
23
2
=X
Для третьего набора свободных неизвестных 1,0,0
543
=
== xxx
получаем, ,0,2
21
=−= xx т.е. третье решение системы имеет вид
.
1
0
0
0
2
3
−
=X
Сделаем проверку, подставим эти решения в исходную систему
уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы,
составленной из столбцов
321
,, XXX , равен 3). 
      3. Неизвестные x1 , x 2 , соответствующие базисным столбцам, являются
базисными, неизвестные x3 , x 4 , x5 - свободными.
      Запишем систему уравнений с матрицей A ред (эта система эквивалентна
исходной) и перенесем, свободные неизвестные в правые части уравнений
системы:

                          x1 = − 5 2 x3 + 3 2 x 4 − 2 x5 ,
                         
                               x 2 = −2 x 3 + 3 x 4 .

      Для первого набора свободных неизвестных x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0
получаем, x1 = − 5 2 , x2 = −2, т.е. первое решение системы имеет вид

                                 − 5 2
                                      
                                 −2 
                          X 1 =  1 .
                                      
                                 0 
                                 0 
                                      

      Для второго набора свободных неизвестных x3 = 0, x 4 = 1, x5 = 0
получаем, x1 = 3 2, x 2 = 3, т.е. второе решение системы имеет вид

                                3 2
                                 
                                 3 
                          X 2 =  0 .
                                 
                                 1 
                                 0 
                                 

      Для третьего набора свободных             неизвестных x3 = 0, x 4 = 0, x5 = 1
получаем, x1 = −2, x2 = 0, т.е. третье решение системы имеет вид
                                  − 2
                                  
                                  0 
                          X 3 =  0 .
                                  
                                  0 
                                  1 
                                  

       Сделаем проверку, подставим эти решения в исходную систему
уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы,
составленной из столбцов X 1 , X 2 , X 3 , равен 3).
                                                                                 29

Страницы