Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 28 стр.

      Записываем фундаментальную систему решений X 1 , X 2 ,..., X n − r и общее
решение однородной системы линейных уравнений.

                                    x1 
                                    
                                   x 
                         X 0.0   =  2  = C1 X 1 + C 2 X 2 + ... + Cn − r X n − r ,
                                       :
                                    
                                     xn 

если X 1 , X 2 ,..., X n − r - фундаментальная система решений однородной системы
линейных уравнений и С1 , С 2 ,..., С n − r - произвольные постоянные.
      Пример3.1. Найти размерность d пространства решений, его базис
(фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы
линейных уравнений

                          x2 + 2 x3 − 3 x4         = 0,
                         
                          2 x1 − x2 + 3 x3 + 4 x5 = 0,
                          2 x + 5 x − 3 x + 4 x = 0.
                          1        3      4      5


      Решение.
      1. Записываем матрицу системы и с помощью элементарных
преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:

                  0 1 2 − 3 0        1 0 5 2 − 3 2 2
                                                        
                  2 − 1  3   0  4  ⇒  0 1  2    − 3  0  .
                  2 0 5 − 3 4        0 0 0       0   0 
                                     
       Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы A ред (и исходной
матрицы A ) линейно независимы, а остальные столбцы являются их
линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы - базисные.
       3. Так как количество линейно независимых столбцов матрицы A ред
равно двум, то

                          RgA = RgA ред = 2

       Следовательно, размерность пространства решений

                          d = n − r = 5 − 2 = 3,

и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых
решений.


28