Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 27 стр.

                                 Задача 3
      Задача 3.1. Однородные системы линейных уравнений
      Постановка задачи. Найти размерность d пространства решений, его
базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной
системы линейных уравнений

                            a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
                            a x + a x + ... + a x = 0,
                            21 1      22 2                2n n
                           
                            .......................................
                           am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0.

       План решения.
       1. Записываем матрицу системы:

                                a11     a12    ... a1n 
                                                        
                               a        a22    ... a2 n 
                           A =  21
                                   ...    ...   ... ... 
                                                       
                                 am1    am 2   ... amn 

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к
ступенчатому виду.
         Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать
А ред . Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной матрице.
       2.   Так как A ⇒ A ред , то вычисляем ранг A как количество базисных
 столбцов матрицы A ред :

                       RgA = RgA ред = r.

        Следовательно, размерность пространства решений есть d = n − r. Если
n = r , то однородная система имеет единственное (нулевое) решение, если
n > r , то фундаментальная система состоит из n − r линейно независимых
решений.
        3. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются
базисными, остальные – свободными. Свободным неизвестным придают
произвольные числовые значения. Члены, содержащие свободные неизвестные,
переносят в правую часть уравнений системы и решают относительно главных
неизвестных.
        Убедимся, что полученные решения                 X 1 , X 2 ,..., X n − r линейно
независимы, составив матрицу из столбцов X 1 , X 2 ,..., X n − r и вычислив ее ранг.


                                                                                      27