ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
2. Для каждого собственного значения
i
λ
найдем собственные
векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений
()
0
=
− XEA
i
λ
и находим фундаментальную систему решений
i
rn
ii
i
XXX
−
,...,,
21
, где
i
r - ранг
матрицы системы .EA
i
λ
−
(Заметим, что ,nr
i
〈
так как 0)det( =− EA
i
λ
)
3. Столбцы
i
rn
ii
i
XXX
−
,...,,
21
являются столбцами координат искомых
собственных векторов
.,...,,
21
i
rn
ii
i
eee
−
Окончательно для
i
λ
λ
=
записываем ответ
в виде
{...}., . .. {...},{...},
21
===
−
i
rn
ii
i
eee
Замечание. Множество собственных векторов, соответствующих
собственному значению
i
λ
, можно записать в виде
}.0.......:{
2211
≠+++==
−−=
i
rnrn
ii
iii
eCeCeCxxS
λλ
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы оператора
,:
33
XXA a заданного в некотором базисе матрицей
.
211
121
003
−
−=A
Решение.
1. Составляем характеристическое уравнение:
()
()
.03430
211
121
003
2
=+−−⇔=
−−
−−
−
λλλ
λ
λ
λ
Поэтому .1,3
32,1
=
=
λ
λ
2. Для собственного значения 3
2,1
=
λ
найдем собственные векторы.
Запишем однородную систему уравнений
(
)
03
=
⋅
−
XEA :
2. Для каждого собственного значения λi найдем собственные
векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений
( A − λi E ) X =0
и находим фундаментальную систему решений X 1i , X 2i ,..., X ni − ri , где ri - ранг
матрицы системы A − λi E. (Заметим, что ri 〈 n, так как det( A − λi E ) = 0 )
3. Столбцы X 1i , X 2i ,..., X ni − ri являются столбцами координат искомых
собственных векторов e1i , e2i ,..., eni − ri . Окончательно для λ = λi записываем ответ
в виде
e1i = {...}, e2i = {...}, .. . , eni − ri = {...}.
Замечание. Множество собственных векторов, соответствующих
собственному значению λi , можно записать в виде
S λ = λi = {x : x = C1e1i + C 2 e2i + ....... + Cn − ri eni − ri ≠ 0}.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы оператора
A : X 3 a X 3 , заданного в некотором базисе матрицей
3 0 0
A = 1 2 − 1.
1 − 1 2
Решение.
1. Составляем характеристическое уравнение:
3−λ 0 0
1 2−λ (
− 1 = 0 ⇔ (3 − λ ) λ2 − 4λ + 3 = 0. )
1 −1 2−λ
Поэтому λ1, 2 = 3, λ3 = 1.
2. Для собственного значения λ1, 2 = 3 найдем собственные векторы.
Запишем однородную систему уравнений ( A − 3 ⋅ E ) X = 0 :
41
