ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40
Таким образом,
.
342
231
121
1
−−
−−
−
=
−
С
Убеждаемся, что
E
СС
=
⋅
−1
:
.
100
010
001
342
231
121
102
111
121
1
=
−−
−−
−
⋅
−
−
=⋅
−
CC
3. Находим матрицу оператора
A
в базисе
321
,, eee
′
′
′
по формуле (3)
−
−
−−
=
=
−
−
⋅
−
−⋅
−−
−−
−
=⋅⋅=
−
′
191615
12911
867
102
111
121
021
210
102
342
231
121
1
CACA
ee
Ответ:
−
−
−
−
=
′
191615
12911
867
e
A
.
Задача 8
Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные
векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей
.
...
............
...
...
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
План решения. Собственные значения оператора
A
являются корнями
его характеристического уравнения
(
)
.0det
=
−
EA
λ
1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его
вещественные корни (среди них могут быть и кратные).
Таким образом,
1 2 − 1
С −1 = − 1 − 3 2 .
− 2 − 4 3
Убеждаемся, что С ⋅ С −1 = E :
1 2 − 1 1 2 − 1 1 0 0
−1
C ⋅C = 1 − 1 1 ⋅ − 1 − 3 2 = 0 1 0 .
2 0 1 − 2 − 4 3 0 0 1
3. Находим матрицу оператора A в базисе e1′ , e2′ , e3′ по формуле (3)
1 2 − 1 2 0 1 1 2 − 1
Ae ′ = C −1 ⋅ Ae ⋅ C = − 1 − 3 2 ⋅ 0 1 − 2 ⋅ 1 − 1 1 =
− 2 − 4 3 −1 2 0 2 0 1
− 7 6 − 8
= 11 − 9 12
15 − 16 19
− 7 6 − 8
A =
Ответ: e ′ 11 −9 12 .
15 − 16 19
Задача 8
Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные
векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей
a11 a12 ... a1n
a a22 ... a2 n
A = 21 .
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
План решения. Собственные значения оператора A являются корнями
его характеристического уравнения det ( A − λE ) = 0.
1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его
вещественные корни (среди них могут быть и кратные).
40
