Линейная алгебра. Локтионова Г.Н - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

42
=−−
=−−
⇒
=
⋅
−−
−−
.0
,0
0
0
0
111
111
000
321
321
3
2
1
xxx
xxx
x
x
x
Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 ( −=
−
2
r
n размерность
пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее
фундаментальная система решений имеет вид
.
1
0
1
,
0
1
1
21
=
= XX
Итак, двукратному собственному значению 3
2,1
=
λ
соответствуют два
линейно независимых собственных вектора }.1,0,1{},0,1,1{
21
=
=
ee Множество
всех собственных векторов
,
3
2,1
=
λ
S
соответствующих собственному значению
,3
2,1
=
λ
имеет вид
}.0:{
22113
2,1
≠
+
=
=
=
eCeCxxS
λ
Аналогично находим собственный вектор, соответствующий
собственному значению .1
3
=
λ
Получим }.1,1,0{
3
=
e Поэтому множество всех
векторов ,
1
3
=
λ
S соответствующих собственному значению ,1
3
=
λ
имеет вид
}.0:{
331
3
≠
=
=
=
eCxxS
λ
Ответ:
}0:{
22113
2,1
≠
+
==
=
eCeCxxS
λ
, где
{
}
0,1,1
1
=
e и
{}
1,0,1
2
=e
}0:{
331
3
≠
=
=
=
eCxxS
λ
, где
{
}
1,1,0
3
=
e . 
                             0 0 0   x1   0 
                                            x1 − x 2 − x3 = 0,
                             1 − 1 − 1 ⋅  x 2  =  0  ⇒ 
                             1 − 1 − 1  x   0   x1 − x 2 − x3 = 0.
                                        3  

      Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 ( n − r = 2 − размерность
пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее
фундаментальная система решений имеет вид

                                  1          1
                                              
                            X 1 =  1 , X 2 =  0 .
                                   0         1
                                              

       Итак, двукратному собственному значению λ1, 2 = 3 соответствуют два
линейно независимых собственных вектора e1 = {1,1,0}, e2 = {1,0,1}. Множество
всех собственных векторов S λ1, 2 =3 , соответствующих собственному значению
λ1,2 = 3, имеет вид

                             S λ1, 2 =3 = {x : x = C1e1 + C 2 e2 ≠ 0}.

       Аналогично        находим    собственный   вектор,   соответствующий
собственному значению λ3 = 1. Получим e3 = {0,1,1}. Поэтому множество всех
векторов S λ3 =1 , соответствующих собственному значению λ3 = 1, имеет вид

                             S λ3 =1 = {x : x = C3e3 ≠ 0}.

       Ответ: S λ1, 2 = 3 = {x : x = C1e1 + C2 e2 ≠ 0} , где e1 = {1,1,0} и e2 = {1,0,1}
       S λ3 =1 = {x : x = C3e3 ≠ 0} , где e3 = {0,1,1}.




42

Страницы