ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
Пример.
Тонкий однородный стержень длиной l име-
ет на концах ползуны A и B, которые скользят под
действием силы тяжести стержня по направляю-
щим OD и OE. Направляющие образуют прямой
угол DOE, расположенный в вертикальной плос-
кости (рис. 10). Пренебрегая массой ползунов и
силами трения, составить дифференциальное
уравнение движения стержня и найти его угло-
вую скорость, если направляющая OE горизон-
тальна.
Решение.
Стержень имеет одну степень свободы, его положение будем опре-
делять одной обобщённой координатой – углом
ϕ
. На рис. 9 изображе-
на только активная сила – сила тяжести
mg
; реакции опор
BА
NN ,
изо-
бражать не следует, так как они не войдут в уравнение Лагранжа.
Кинетическую энергию T стержня вычислим по теореме Кенига
22
2
1
2
1
ϕ+ϑ=
&
CC
ImT
,
где m – масса стержня;
C
ϑ
– скорость его центра масс C;
2
2
1
mlI
C
=
–
момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку C
перпендикулярно к плоскости движения.
Для вычисления скорости центра масс C найдём его координаты:
ϕ= sin
2
1
lx
C
,
ϕ= cos
2
1
ly
C
.
Дифференцируя по времени, получим
ϕϕ= cos
2
1
&
&
lx
C
,
ϕϕ= sin
2
1
&
&
ly
C
.
Отсюда
22222
4
1
ϕ=+=ϑ
&
&&
lyx
CCC
.
Внося значения для
2
C
ϑ
и
C
I
в выражение для кинетической
энергии стержня, найдём
222
2
12
1
2
1
4
2
1
ϕ+ϕ=
&&
ml
l
mT
или
22
6
1
ϕ=
&
mlT
.
Перейдем к вычислению обобщённой силы. Для этого найдем
выражение потенциальной энергии системы, считая, что при горизон-
тальном положении стержня она принимает нулевое значение:
ϕ= cos
2
1
П mgl
.
Рис. 10
