ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
Пользуясь формулой (13), определим обобщённую силу, соответ-
ствующую обобщённой координате
ϕ
:
ϕ=
ϕ∂
∂
−= sin
2
1П
mglQ
.
Уравнения Лагранжа имеют вид
Q
TT
dt
d
=
ϕ∂
∂
−
ϕ∂
∂
&
.
Имеем
ϕ=
ϕ∂
∂
&
&
2
3
1
ml
T
,
ϕ=
ϕ=
ϕ∂
∂
&&&
&
22
3
1
3
1
mlml
dt
dT
dt
d
.
Так как кинетическая энергия T от угла
ϕ
не зависит, то
0=
ϕ∂
∂T
.
Внося полученные выражения в уравнение Лагранжа, получим
ϕ=ϕ sin
3
1
3
1
2
mglml
&&
или
ϕ=ϕ sin
2
3
l
g
&&
. (34)
Это есть дифференциальное уравнение движения стержня, полу-
ченное вторым методом Лагранжа.
Найдём обобщённую скорость
ϕ
&
. Для этого умножим обе части
уравнения (34) на
ϕ
d
:
ϕϕ=ϕϕ d
l
g
d sin
2
3
&&
.
Имеем
ϕ
=ϕϕ=
ϕ
ϕ=ϕ
ϕ
=ϕϕ
2
2
&
&&&
&
&&
dd
dt
d
dd
dt
d
d
.
Теперь дифференциальное уравнение принимает вид
ϕ−=
ϕ
cos
2
3
2
2
d
l
g
d
&
.
Интегрируя и умножая обе части уравнения на 2, найдём
C
l
g
+ϕ−=ϕ cos3
2
&
.
Пусть стержень начинает движение из состояния покоя, составляя с
вертикалью в начальный момент угол
0
ϕ
. Тогда при
0
ϕ=ϕ
0=ϕ
&
и,
следовательно,
0
cos3 ϕ=
l
g
C
. Подставляя это значение для C в послед-
нее равенство, найдём угловую скорость стержня в функции от угла
ϕ
:
( )
ϕ−ϕ=ϕ coscos3
0
2
l
g
&
.
