ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
Систему s дифференциальных уравнений (32) называют уравне-
ниями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой
дифференциальные уравнения второго порядка относительно обоб-
щённых координат системы
s
qqq ...,,,
21
. Интегрируя эти дифферен-
циальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные
интегрирования, получаем s уравнений движения механической сис-
темы в обобщённых координатах, причём число уравнений равно чис-
лу степеней свободы:
(
)
tqq
jj
=
(
)
sj
...,,2,1=
.
Если силы, действующие на материальную систему, потенциаль-
ные, то в соответствии с формулой (13) уравнения (32) можно перепи-
сать в виде
jjj
qq
T
q
T
dt
d
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂ П
&
(
)
sj ...,,2,1=
.
Если теперь ввести в рассмотрение функцию Лагранжа L = T – П
и учесть, что
0
П
≡
∂
∂
j
q
, то получим
0=
∂
∂
−
∂
∂
jj
q
L
q
L
dt
d
&
(
)
sj ...,,2,1=
. (33)
Уравнения (33) являются уравнениями Лагранжа второго рода
для случая потенциальных сил.
Прежде чем рассмотреть пример на составление уравнений Ла-
гранжа, сделаем несколько рекомендаций, вытекающих непосредст-
венно из самой формы уравнений (32) и способа введения обобщённых
координат.
Для составления уравнений Лагранжа второго рода нужно:
1) изобразить на чертеже все активные силы, действующие на
систему; реакции идеальных связей изображать не следует; если име-
ются силы трения, то их следует присоединить к активным силам;
2) определить число степеней свободы и ввести обобщённые ко-
ординаты;
3) вычислить кинетическую энергию системы, выразив её через
обобщённые координаты и скорости;
4) определить потенциальную энергию системы, если силы по-
тенциальные;
5) найти обобщённые силы системы;
6) выполнить указанные в уравнениях Лагранжа (29) или (30)
действия.
Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в
развитии динамики системы и широко используются для решения
многих задач механики.
