Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

19
вой части этого выражения, т.е. равна частной производной от
i
r
по
координате
j
q
:
j
i
j
i
q
r
q ∂
∂
=
∂
ϑ∂
&
. (26)
Кинетическая энергия механической системы, как известно, оп-
ределяется по формуле
∑ ∑
= =
ϑϑ=
ϑ
=
n
i
n
i
iii
ii
m
m
T
1 1
2
2
1
2
. (27)
Из выражения (24) следует, что вектор скорости точки
i
ϑ
в слу-
чае голономных нестационарных связей является функцией обобщён-
ных координат, содержащихся в выражениях
j
i
q
r
∂
∂
, обобщённых ско-
ростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической сис-
темы является функцией тех же переменных:
(
)
tqqqqqqTT
ss
,...,,,,...,,,
2121
&&&
=
. (28)
Найдём частные производные от кинетической энергии по обоб-
щённой координате
j
q
и обобщённой скорости
j
q
&
, дифференцируя
выражение (27) как сложную функцию:
∑
=
∂
ϑ∂
ϑ=
∂
∂
n
i
j
i
ii
j
q
m
q
T
1
;
∑
=
∂
ϑ∂
ϑ=
∂
∂
n
i
j
i
ii
j
q
m
q
T
1
&&
.
Преобразуем последнее выражение на основании равенства (26):
∑
=
∂
∂
ϑ=
∂
∂
n
i
j
i
ii
j
q
r
m
q
T
1
&
.
Продифференцируем это выражение по времени:
∑ ∑∑
= ==
∂
∂
ϑ+
∂
∂ϑ
=
∂
∂
ϑ=
∂
∂
n
i
n
i
j
i
ii
j
ii
i
n
i
j
i
ii
j
q
r
dt
d
m
q
r
dt
d
m
q
r
m
dt
d
q
T
dt
d
1 11
&
. (29)
Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного
равенства (29), учитывая, что для несвободной материальной точки
iiii
RFam +=
.
( )
∑ ∑ ∑
= = =
+=
∂
∂
+=
∂
∂
=
∂
∂ϑ
n
i
n
i
n
i
R
jj
j
i
ii
j
i
ii
j
ii
i
QQ
q
r
RF
q
r
am
q
r
dt
d
m
1 1 1
.

Страницы